사실상 대수학의 목표는 방정식을 풀수 있는가라는 주제에 집중되어 있다. 그만큼 다항식의 해가되는 원소를 모으는 것은 대단히 중요하다. 그것과 관련된 개념이 대수적확대체이다. 우리는 주로 유한차수 다항식에 대한 해를 탐구하기 때문에 유한확대체를 잘 다루는것 또한 중요하다. 그리고 대수적이라는 속성에 대하여 닫혀있는 구조를 많이 가져오게 된다. 그것을 대수적 폐포라고 한다. 우리는 대수적확대체와 유한확대체가 무엇인지, 성질에는 무엇이있는지에 대하여 알아보고 대수적 폐포의 개념을 도출해낼것이다.

1. 대수적확대체와 유한확대체

대수적확대체는 확대체 중에서 대수적인 원소로만 이루어져 있는 제한조건이 있는 확대체이다.

 $E$ : $F$의 대수적 확대체

⇔ (i) $F \le E$

   (ii) $\forall \alpha \in E, \, \alpha : \,  F$위에서 대수적

어떤 확대체가 대수적확대체이려면 모든 원소에 대하여 그 원소를 해로 갖는 다항식이 반드시 존재해야 한다.

유한확대체는 차수(기저의 차원)가 유한한 확대체이다.

$E$: $F$의 유한확대체

⇔ (i) $F \le E$

   (ii) $[E :F] < \infty$

그러면 차수에 관한 정리들을 살펴보도록하자.

(1) $F \le E$일 때

$E=F \Leftrightarrow [E:F]=1$

(2) $F \le E \le K , \, [K:E]< \infty , \, [E:F] < \infty$

$\Rightarrow$① $K$: $F$의 유한확대체

    ②$[K:F]=[K:E][E:F]$

우선 (1)을 살펴보면 차수가 같다면 F에서 E의 차원이 1이라는 것이고 기저는 {1}뿐일 것이다. 1로 span된다면 그 체는 F 자신이 된다는 뜻이다.

(2)를 살펴보면 E에서 K의 기저가 유한개이고 F에서 E의 기저가 유한개이므로 F에서 K의 기저는 이들의 결합이므로 유한하다. 그러므로 K는 F의 유한확대체이다.

같은 연유로 인하여 두번째도 성립한다. 구체적인 증명은 임의의 원소에 대하여 일차결합을 구성하는 방법을 사용한다.

$F \le E$ , $\alpha \, (\in E)$ : F위에서 대수적, $\beta \in F(\alpha )$일 때

(1) $F \le F(\beta ) \le F(\alpha )$

(2) $deg(\beta , F)|deg(\alpha , F)$

(1)부터 살펴보면 $F(\beta )$는 $\beta$를 가진 최소의 체이고 $F(\alpha)$는 $\beta$를 가진 하나의 체이기 때문이다.

(2)를 살펴보면 $\alpha$는 대수적 원소이기 때문에 이를 근으로하는 다항식을 가진다. 그러면 확대체의 차원은 다항식의 차수와 같다. 그러므로 유한하다.

그러면 앞에서 살펴본 정리에 의하여 $deg(\alpha ,F)=[F(\alpha ):F]=[F(\alpha ):F(\beta )][F(\beta ):F]=[F(\alpha ):F(\beta )]deg(\beta ,F)$이다.

이제 대수적확대체와 유한확대체의 관계를 알아보도록 하자.

유한 확대체가 대수적확대체인 이유는 차원이 n인 유한확대체의 어떤 한 원소에 a에 대하여 a의 멱을 생각하여 $1, \cdots , a^n$의 일차결합은 0이다 (일차종속이므로) 그러므로 a를 해로갖는 기약다항식이 얼마든지 존재한다. 그러므로 a는 대수적원소이고 확대체는 대수적확대체이다.

역이 성립하기 위해선 조건이 하나 필요한데 유한개의 원소로 인하여 확장되었을 때, 대수적확대체는 유한확대체이다. $F\le F(\alpha _{ 1 })\le (F(\alpha _{ 1 }))(\alpha _{ 2 })=F(\alpha _{ 1 },\, \alpha _{ 2 })$와 같은 방식으로 확장하면 

$[F(\alpha _{ 1 },\alpha _{ 2 }):F]=deg(\alpha _{ 1 },\, F)deg(\alpha _{ 2 },\, F(\alpha _{ 1 }))\le deg(\alpha _{ 1 },\, F)deg(\alpha _{ 2 },\, F)<\infty$ ($\alpha _i$는 대수적이기 때문에 유한차원)이므로 유한확대체이다.

2. 대수적폐체와 대수적폐포

대수적폐체란 모든 방정식을 구성하였을 때 해가 모두 그 체안에 들어와 있는 체를 뜻한다. 

이것은 어떤 방정식을 가져오던간에 일차식의 곱으로 인수분해된다는 것과 같다.

F:체에 대하여 F: 대수적폐체

⇔ $\forall f(x) \in F[x], \, \exists \alpha \in F \, s.t. \, f(\alpha )=0$

⇔ $\forall f(x)\in F[x]$, $f(x)$는 일차식의 곱으로 인수분해 가능

대수적으로 닫혀있다는 뜻은 대수적인 원소를 모두 가지고 있다는 뜻이다.

임의의 체 $F$에 대하여 대수적으로 닫혀있도록 최소의 확대체를 정의할 수 있을것이다. 이것을 대수적 폐포라 한다.

일단 대수적으로 닫혀있으려면 모든 방정식의 해를 가지고 있어야 하므로 확대체는 대수적폐체가 되어야 한다.

그리고 이것이 최소의 대수적페체가 되려면 초월적원소는 제외되어도 대수적페체성을 손상시키지 않으므로 모든 초월적 원소는 없이 모든 원소가 대수적이면 최소의 대수적 폐체가 될것이다. 그러므로 확대체는 대수적확대체도 되어야 한다.

$F$ :체에 대하여 $K=\overline { F }$ ($F$의 대수적 폐포)

⇔ (i) $K$: 대수적 폐체

    (ii) $K: \, F$의 대수적확대체

⇔ $K=F$를 포함하는 최소의 대수적 폐체

즉, 대수적 폐포는 대수적확대체와 대수적폐체를 동시에 만족하는 교집합이며

대수적 확대체에서 대수적인 원소를 추가해주어 대수적닫힘성을 만족시킨 집합이며

대수적 폐체에서 초월적 원소를 제거해주어 최소성을 만족시킨 집합으로 생각할 수 있다.

F의 확대체 E 내에서 대수적인 원소를 최대한 끌어모은 집합을 E안의 F의 대수적 폐포라 한다.

$\overline { F_{ E } } =\{ \alpha \in E | \alpha$ : F위에서 대수적 $\}$

이는 자체가 대수적 폐체는 아니다 다만 E의 부분체가 된다. 

부분체 증명은 임의의 두 원소를 가져다가 두 원소로 확대한 확대체를 구성하여 닫혀있음, 항등원, 역원을 증명하면 된다.

다음 정리는 대수적폐체를 대수적확대체로 확장해봐야 자기자신이라는 것이다. 대수적폐포의 정의와 잘 비교하자. 분명히 다른점이 있다.

F: 대수적 폐체 일 때

E: F의 대수적 확대체 ⇒ E=F

대수적 폐체의 모든 원소가 대수적이도록 확장했다면 그 확대체의 원소에 대하여 그 원소가 대수적이므로 그를 해로 갖는 다항식이 F[x]에 존재하고 F는 대수적 폐체이므로 그 원소는 어차피 F의 원소이다.

대수적폐포의 정의와 무엇이 다르냐면 대수적 폐포를 구성할 때는 어떤 한 체를 대수적폐체임과 동시에 대수적확대체가 되도록 확장시킨것이다. 그러나 이 정리는 전제로 대수적 폐체인것을 내포하고 대수적확대체가 되도록 확장시키려는 것이기 때문에 전제가 약간 다르다.