12. 여러가지 정역들

정역은 영어로 integral domain이다. integral number는 '정수'라는 것을 의미하므로 정역은 정수의 특성을 가져와 일반화한것이라 볼 수 있다.

정수환에서 곱셈에 대한 가환이 성립하고 단위원 1을 가지고 있으며 영인자가 존재하지 않으므로 정역도 이러한 특성을 지니고 있다.

$R$: 정역

⇔ (i) $R$: 가환환

    (ii) $1 \in R$

    (iii) $\nexists$영인자

이외에도 정수는 많은 특징들을 가지고 있는데 

1. 유일하게 인수분해된다.

2. 모든 아이디얼이 각기 한 개의 원소로 생성된다.(주아이디얼이다.)

3. 호제법이 가능하다.

이러한 특징들을 일반화한 정역이 있다. 그것이 바로 UFD(유일인수분해정역), PID(주아이디얼정역), ED(유클리드정역) 이다.

표로 그 특징을 나열하면 다음과 같다.

특징	정역	유일인수분해정역	주아이디얼정역	유클리드정역
가환환, 단위원존재, 영인자 없다.
유일하게 인수분해된다.
모든아이디얼이 주아이디얼이다.
호제법이 가능하다.

1. 유일인수분해정역 (Unique Factorization Domain ;UFD)

UFD는 모든 원소가 유일한 인수분해를 가지고 있는 정역이다. 이를 수학적으로 나타내면 다음과 같다.

D:UFD

⇔ (i) D : 정역

   (ii) 0도 아니고 단원도 아닌 $a \in D$에 대하여

        ㉠ $a=p_1\cdots p_r$ ($\exists p_{ 1 },\cdots ,p_{ r }$: 기약원^[각주:1]) (인수분해의 존재성)

        ㉡ $a=p_{ 1 }\cdots p_{ r }=q_{ 1 }\cdots q_{ s }$ ($p_i,q_i$; 기약원)

             ⇒ $r=s, \quad p_i$와 $q_i$는 동반원^[각주:2]인 1-1대응관계가 있다. (인수분해의 유일성)

잠시 UFD와 관련하여 다른이야기를 하면 정역에서 소원과 기약원의 정의가 미묘하게 다르다. 또한 실제로도 다른 개념이다.

p: D의 소원

⇔ (i) $p \ne 0$

   (ii) $p \ne$ 단원

   (iii) $p|ab \Rightarrow p|a \, or \, p|b$

p: D의 기약원

⇔ (i) $p \ne 0$

   (ii) $p \ne$ 단원

   (iii) $p=ab \Rightarrow$ $a$:단원 or $b$:단원

정역에서 소원은 기약원이다. 그렇지만 그 역이 성립하려면 D:UFD이어야만 한다. 증명은 어렵지 않다.

UFD와 다항식환간의 관계에 관한 정리가 존재한다. 결과를 알아두자

D : UFD이면 D[x]: UFD이다.

(PID->PID ED->ED이런거 다 안되고 UFD만 된다.)

F: 체이면 $F[x_1, \cdots , x_n]$ : UFD이다.

(체이면 다항식환이 UFD고 거기에 계속 변수를 하나하나씩 붙여도 똑같이 UFD)

2. 주아이디얼정역 (Principal Ideal Domain ;PID)

PID는 모든 아이디얼이 주아이디얼인 정역이다. 이를 수학적으로 나타내면 다음과 같다.

D:PID

⇔ (i) D : 정역

   (ii) $I \triangleleft D \Rightarrow$ I: D의 주아이디얼

PID에선 기약원으로 생성된 주아이디얼은 극대아이디얼이다.

D:PID 이고 $p \ne 0$일 때

$<p>$: 극대아이디얼 ⇔ p : 기약원

[증명] (극대아⇒기약원) $p \ne 0$인것은 가정에 의하여 성립하고 p가 단원이면 이로부터 생성된 아이디얼은 D가 되므로 p는 단원도 아니다. 

p=ab라 하면 $<p> \subset <a>$인데 <p>의 극대성에 의하여 <a>는 <p>가 되거나 D가 된다. 그러므로 a:단원 또는 b:단원

(기약원⇒극대아) $<p> \subset I \triangleleft D$라 가정하면 D:PID이므로 I를 생성하는 a가 I에 존재한다. 그러면 $<p> \subset <a>$이므로 p=ab이다. ($\exists b \in D$)

p의 기약성에 의하여 a 또는 b가 단원이다. 그러므로 I=<p> 이거나 I=D

우선 PID가 UFD라는 사실을 증명하기 위하여 몇가지 정리를 참고하자.

[정리] 가환환 R에서 (1) $N_i \triangleleft R \;(\forall  i=1,2,\cdots )$ (2) $N_{ 1} \subset N_2 \subset \cdots  \subset N_i \subset N_{i+1} \subset \cdots \;( \subset R)$ (이 때, ${ \{ N_{ i }\}  }_{ i=1 }^{ \infty  }$ : R의 아이디얼의 오름사슬) $\Longrightarrow N:=\bigcup _{ i=1 }^{ \infty  }{ N_{ i } } \triangleleft R$ (아이디얼이 양파껍질처럼 겹겹이 씌워지는 모양이다. 당연히 그 합집합도 아이디얼이다.) [정리] D: PID일 때 ${ \{ N_{ i }\}  }_{ i=1 }^{ \infty  }$ : D의 아이디얼의 오름사슬 $\Longrightarrow \exists r\in Z^{ + }\, s.t.\, N_{ r }=N_{ r+1 }=\cdots$ (즉 PID에서 아이디얼의 오름사슬은 길이가 유한하다. 오름사슬의 합집합을 생성하는 생성원을 $N_r$에 있다고 하면 r항이후로 어차피 아이디얼들은 같아지게 되어 오름사슬의 길이는 유한해진다.) [정리] PID에서 기약원은 소원이다. (p|ab이면 ab는 <p>에 속한다. 그리고 앞에 있던 정리에 의해 <p>는 극대아이디얼이고 또한 소아이디얼이다. 그러면 소아이디얼의 정리에 의하여 a,b둘중하나가 아이디얼의 원소이므로 둘중하나가 p의 배수이다)

이제 PID가 UFD라는 것을 증명하자.

D:PID 이면 D:UFD 이다.

(존재성증명) D의 임의의 원소에 대하여 기약원의 존재를 확인한다. 계속 쪼개고 쪼개다 보면 그 과정이 유한하다는것을 이용한다. (사슬이용) 그러고난 후에 인수분해를 기약원의 존재성을 이용하여 계속 반복한다. 그렇지만 이 과정도 유한하다는 것을 이용한다. (사슬이용) 결국 인수분해가 존재하게 된다.

(유일성증명) 각기 다른 기약원들로 인수분해되었다고 가정한 후에 그 기약원들의 숫자가 서로 같으며 서로 단원을 곱한 관계라는 것을 증명해낸다.

3. 유클리드정역 (Euclidean Domain ;ED)

유클리드 정역은 호제법이 가능한 정역으로서 유클리드 부치(노름)라는 구조를 지니고 있다.

D: ED

⇔ (i) D : 정역

   (ii) $\exists \nu :D\setminus \{ 0\} \longrightarrow Z_{ 0 }^{ + } \, s.t \,$

        ㉠ $a \in D$, $b \in D \setminus {0}$ 일 때

              $\exists q,r \in D \, s.t. \, a=bq+0, \, r=0 \, or \, \nu (r) < \nu (b)$

        ㉡ $a,b \in D \setminus {0}$ 일 때, $\nu (ab) \ge \nu(a)$

(이 때, $\nu$ : D의 유클리드 부치(노름))

예를 들어 정수의 유클리드 부치는 절댓값이다. 다항식환의 유클리드 부치는 deg이다.

유클리드 노름의 성질은 다음과 같다.

(1) $\nu (1) \le \nu (a)$ ($\forall a \in D \setminus {0}$)

(2) u: D의 단원 ⇔ $\nu  (u) = \nu (1)$

[증명] (1)번은  a=a $\cdot$ 1로 해결하면 된다.

(2)번은 1=$u \cdot u^{-1}$을 이용하고 역은 호제법을 이용한다.

이제 정역끼리의 관계들을 마저 정리해주자.

D: 체 ⇒ D: ED ⇒ D:PID ⇒ D:UFD ⇒ D:정역

빨간 화살표 빼고는 전부 다 증명했던 사실이다. 그럼 이 두 명제를 증명함으로서 논의를 끝내도록 하자.

[증명]

(체 ⇒ ED) 체 D에 대하여 유클리드 부치를 상수하나를 잡는다. 그리고 체는 역원이 존재하므로 무조건 나머지가 존재하지 않으므로 ㄱ은 성립한다.

ㄴ은 유클리드 부치가 상수이므로 당연히 성립한다.

(ED ⇒ PID) F[x]가 PID라는 것을 증명하는 것과 과정은 같다. 요약하자면 I={0}인경우 자명하니 건너뛰고 {0}이 아닌경우엔 자연수의 정렬성의 원리에 의하여 유클리드 부치의 최솟값이 나타난다. 유클리드 부치가 가장 작은 원소를 b 라고 하고 <b>=I를 증명하자 <b> $\subset$ I인것은 b가 I의 원소이므로 자명하다. 임의의 I의 원소 a에 대하여 나눗셈이 존재하여 몫과 나머지가 나타나고 r=0이 되거나 유클리드 부치조건을 만족한다. 그러나 r=0이 아니라면 r=a-bg는 I의 원소이므로 r의 유클리드 부치가 b보다 크게되면서 유클리드부치 조건에 모순이다 그러므로 r=0이고 a=bg이므로 I $\subset$ <b>이므로 I=<b>  즉 D:PID 

4. 가우스 정수와 곱셈적노름

가우스 정수환이라는 정역을 소개하고자 한다.

$i=\sqrt { -1 }$에 대하여

(1) $Z[i]:=\left\{ f(i)|f(x)\in Z[x] \right\} \\ \quad \quad =\{ a+bi|a,b\in Z\} \subset \mathbb{C}$ (가우스 정수환)

(2) $N:Z[i]\longrightarrow Z_0^+$ 에 대하여

     $N(a+bi)=a^2+b^2 \\ \quad \quad \quad \quad =|a+bi|^2$ ($a+bi \in Z[i]$] (N: 가우스노름)

가우스 정수환은 가우스노름이 유클리드노름이므로 유클리드정역(ED)이다.

그런데 가우스노름은 유클리드노름임과 동시에 곱셈적노름이다.

우선 가우스 노름의 특징을 살펴보면

$\alpha ,\beta \in Z[x]$에 대하여

(1) $N(\alpha) \ge 0$

(2) $N(\alpha)=0 \Leftrightarrow \alpha =0$

(3) $N(\alpha \beta)=N(\alpha) N(\beta)$

특히 (2), (3)은 곱셈적노름의 정의이다.

곱셈적 노름의 성질은 다음과 같다.

D: 정역, N: D의 곱셈적노름일 때

(1) ① $N(1)=1$

     ② $u$: D의 단원 $\Rightarrow$ $|N(u)|=1$ (역은 유클리드 노름에서 성립)

(2) ②의 역이 성립할 때, $|N(\beta)|=p$ (소수) $\Rightarrow$ $\beta$: D의 기약원

(3) $\alpha , \beta$: 동반원 $\Rightarrow$ $|N(\alpha)|=|N(\beta)|$

이로서 정역에 대한 논의를 마치고자 한다.

1. p: D의 기약원 ⇔(i) $p ≠ 0$ (ii) $p ≠$ 단원 (iii) $p=ab ⇒$ a:단원 또는 b:단원 [본문으로]
2. a,b가 동반원관계라는 것은 한쪽이 다른쪽에 단원을 곱한것과 같다는 것이다. a,b 는 서로를 나누게되어있으며 생성하는 환이 같다. [본문으로]