19. 갈로아 이론과 5차방정식의 비가해성

드디어 학부현대대수의 꽃이라 할 수 있는 갈로아이론에 접어들었다. 

갈로아이론은 체의 구조를 군의 구조로 바꿔서 체의 구조를 집작해볼 수 있는 아주 신박한 도구라 할 수 있다.

이로 인하여 방정식의 가해성을 분해체의 가해성으로, 분해체의 가해성을 갈로아군의 가해성으로 변환하여 구하기 어려운 방정식의 가해성 규명을 쉽게 해준다.

우선 갈로아 확대체부터 정의하도록하자.

1. 갈로아확대체

갈로아확대체를 정의하기 전에 우선 정규확대체라는 것을 정의하도록 하자.

정규확대체는 대수적확대체로서 부분체의 모든 기약다항식에 대하여 분해가능하도록 구성한 체이다.

$K$: $F$의 정규확대체

⇔ (i) $K$: $F$의 대수적 확대체

    (ii) $f(x)$: $F[x]$의 기약다항식, $f(\alpha )=0$ $(\alpha \in K)$ ⇒ $f(x)$: $K$위에서 분해가능

이어서 바로 갈로아확대체를 정의하자

갈로아 확대체는 유한정규분리확대체로서 다음과 같은 동치조건을 가진다.

$K$: $F$의 갈로아 확대체

⇔ $K$; $F$의 유한정규분리확대체

⇔ (i) $K$: $F$의 유한확대체

    (ii) $S=G(K/F)$에 대하여 $K_s =F$

왜 동치조건인지는 증명 없이 받아들이도록 한다.

2. 갈로아이론의 중심정리(주정리)

갈로아확대체라는 조건에선 유한정규분리확대체 라는 조건을 만족하므로 저번에 증명하였던 등식이 성립한다.

$|G(E/F)|=\{E:F\}=[E:F]$

이제 확대체의 구조를 갈로아군의 구조로 파악하는 갈로아이론의 중심정리를 제시할 준비가 끝났다.

증명을 피한 채 예를 들어 알아보자.

$K=Q(\sqrt{2}, \sqrt{3})$를 생각해보면 $K$는 유한확대체이고 갈로아군의 고정체가 $F=Q$이다. 그러므로 $K$는 $F=Q$의 갈로아 확대체이다.

이 확대체의 구조를 살펴보기 위하여 두가지 집합을 동시에 가져와 생각해보자.

$S= \{E|F \le E \le K \}$ : 확대체와 부분체의 중간체들 

$T= \{H|H \le G(K/F) \}$ : 갈로아군의 부분군들

다음은 두 집합을 그림으로 표현한 것이다.

(화살표방향은 더 큰방향이다. 부분군, 확대체개념을 나타낸것이다. 색깔별로 대응해서 보면 된다.)

하나의 체와 하나의 갈로아군이 대응을 이루고 각 확대체의 차수가 확장된 자기동형사상의 개수와 같다는 것을 알 수 있다.

그러나 화살표를 보면 커지는 방향이 바뀌었다는 것을 알 수 있을것이다.

이와 같이 체에서의 확대체는 군에서의 부분군과 대응을 이룬다. 이 원소들을 대응하여주는 동형사상을 정하는데 이것을 갈로아대응이라 한다.

이제 정의하여보자.

$K$ : $F$의 갈로아 확대체

$S=\{ E|F\le E\le K\} $ (체)

$T=\{ H|H\le G(K/F)\} $ (군) 에 대하여

$\lambda :\; S\longrightarrow T,\quad \lambda (E)=G(K/E)\quad (E\in S)$

(1) ① $\lambda$: 전단사

     ② $\lambda ^{ -1 }(H)=K_{ H }\quad (\forall H\in T)$ (역사상은 고정체이다.)

         $E=\lambda ^{ -1 }(G(K/E))=K_{ G(K/E) }$

(2) $E$, $L \in S$일 때

     ① $E \le L \Leftrightarrow G(K/E) \ge G(K/L)$ (확대체는 부분군으로 대응된다.)

     ② $E \le L$일 때 $[L:F]=[G(K/E):G(K/L)]$ (차수는 갈로아군의 지수로 대응된다.)

(3) $E \in S$에 대하여

     $E$ : $F$의 정규확대체

     ⇔ $G(K/E) \triangleleft G(K/F)$ (정규확대체는 정규부분군으로 대응된다.)

3. 유한체의 갈로아군

우리는 유한체의 갈로아군의 구조를 알아보려한다. 

유한체의 갈로아군을 밝히기전 우리는 먼저 알아보았던 유한체의 분해체를 언급하면서 시작하겠다.

$E\le \overline { Z_{ p } } ,\; |E|=p^{ n }\; (n\in Z^{ + })$일 때

$f(x)=x^{ p^{ n } }-x\; (\in Z_{ p }[x])$

⇒$E=\{ \alpha \in \overline { Z_{ p } } |f(\alpha )=0\} $ (즉 $E$: $Z_p$위의 $f(x)$의 분해체)

즉 유한체의 유한확대체는 분해체라는 사실을 상기하자.

이제 유한체 위의 갈로아군의 구조를 알아보도록 하자.

$F$ : 유한체, $K$: $F$의 유한확대체 s.t. $[K:F]=n$ 일 때

$G(K/F)=<\sigma _{p^r}>$ (단, $|F|=p^r$)

(즉, 유한체위의 갈로아군은 위수 $n$인 순환군 $\cong Z_n$)

[증명] $\sigma _{p^r} (\alpha )= \alpha ^{p^r}$ $(\alpha \in K)$이라 할 때 $\sigma _{p^r}$은 자기동형사상이고 F의 원소를 고정한다는 사실을 계산해보면 알 수 있다. 그러므로 $\sigma _{p^r}$은 갈로아군의 원소이다. 그리고 $\sigma _{p^r}$의 order는 갈로아군의 위수와 같다. 왜냐하면 $\sigma _{p^r}$는 갈로아군의 원소기 떄문에 order는 갈로아군의 위수보다 작을 것이다. 하지만 $\sigma _{p^r}$의 멱이 항등사상이 되려면 분해체를 계산할 때 제시한 다항식을 이용하면 갈로아군의 위수보다 커야한다. 고로 order는 갈로아군의 위수와 같다. 그러므로 갈로아군은 $\sigma _{p^r}$를 생성원으로 하는 순환군이다.

4. 5차방정식의 비가해성

이제 클라이막스에 치닫고 있다. 이제 5차방정식의 비가해성을 간단하게나마 증명해볼것이다.

우선 근의 가해성을 어떻게 나타낼수 있을지 알아보자. 다항식은 거듭제곱으로 이루어져 있기 때문에 근을 거듭제곱하여 거슬러 올라가면 풀수 있다는 생각을 해볼 수 있다. 그러므로 거듭제곱에 의하여 가해성을 정의하여보자.

체 $F$와 $f(x) \in F[x]$에 대하여

(1) $K$: $F$의 거듭제곱근에 의한 확대체

     ⇔ (i) $K=F(\alpha _1, \cdots , \alpha _r)$

         (ii) $\alpha _{ 1 }^{ n_{ 1 } }\in F,\; \alpha _{ 2 }^{ n_{ 2 } }\in F(\alpha _{ 1 }),\; \cdots ,\; \alpha _{ r }^{ n_{ r } }\in F(\alpha _{ 1 },\cdots ,\alpha _{ r-1 })\quad (\exists n_{ 1 },\cdots ,n_{ r }\in Z^{ + })$ (거듭제곱이 속하고 거듭제곱이 속하고..)

(2) $f(x)$: $F$위에서 거듭제곱근에 의해 풀 수 있다.

     ⇔ $\exists K$: $F$의 거듭제곱근에 의한 확대체 s.t. $F$위의 $f(x)$의 분해체 $\subset K$

그러나 실제로 확대체를 분석하여 가해성을 알아보기는 쉬운일이 아니다. 

그러므로 갈로아군의 가해성을 이용하여 근의 가해성을 알아보는데 이것을 갈로아 판정법이라고 한다.

체 $F$, $f(x) \in F[x]$

(1) $F$위의 $f(x)$의 갈로아군 = $G(K/F)$ ($K$: $F$위의 $f(x)$의 분해체)

(2) <갈로아판정법> $Char(F)=0$일 때

     $f(x)$: $F$위에서 거듭제곱근에 의해 풀 수 있다.

     ⇔ $F$위의 $f(x)$의 갈로아군 : 가해군

예를 들어서 한 5차 다항식의 비가해성을 증명해보면서 마치고자 한다.

$f(x)=2x^5-10x+5$ ($\in Q[x]$)

: $Q$위에서 거듭제곱근에 의해 풀 수 없음을 증명하시오

[풀이] 아이젠슈타인 판정법에 의하여 $f(x)$는 기약다항식이다. $K$=$f(x)$의 $Q$위의 분해체에 대하여

 $Q$위의 $f(x)$의 갈로아 군=$G(K/Q) \cong S_5$이다.

($f(x)=0$은 3개의 실근, 2개의 허근을 가지고 (미적분학의 개념을 이용하면) 치환군에서 길이 5인 치환과 호환이 있으면 $S_5$와 동형이라는 사실을 이용하면 된다.)

그런데 $S_5$는 가해군이 아니므로 갈로아판정법에 의하여 비가해성이 증명된다.