16. 체의 자기동형사상과 갈로아군

이제 갈로아이론을 다루기위한 첫걸음이다. 체의 구조를 밝힌다는 것은 매우 어렵다. 하지만 군의 구조를 밝히는 것은 쉽다. 체의 구조를 군의 구조로 바꾸어서 쉽게 구조를 밝힐 수 있도록 하는 것이 바로 갈로아군이라는 개념이다. 갈로아군을 구성하기 위해서는 우선 기존의 체를 고정해놓고 확대체의 자기동형사상을 구성해야 한다. 우선 켤레라는 개념부터 시작하자.

1. 켤레

 복소수를 배우던 중에 무엇을 켤레로 불렀는가? 허수부의 부호만 다른 두 수를 켤레라고 불렀었다. 사실 이 둘의 기약다항식이 같다는 것을 통찰했을 것이다.

이와 같이 켤레는 같은 기약다항식을 가질 때 서로 켤레라고 정의한다.

 E ; F의 대수적확대체 , $\alpha$, $\beta \in E$일 때,

$\alpha$, $\beta$: F위에서 켤레

⇔ $irr(\alpha , F)=irr(\beta , F)$

이 켤레의 개념을 활용하여 새로운 동형사상을 하나 정의하도록 한다.

<켤레동형사상>

(1) $\alpha$, $\beta$ : $F$위에서 대수적

(2) $deg(\alpha , F) =n$

(3) $\begin{cases} \psi _{ \alpha ,\; \beta  }:\, F(\alpha )\longrightarrow F(\beta ) \\ \psi _{ \alpha ,\; \beta  }(C_{ 0 }+C_{ 1 }\alpha +\cdots +C_{ n-1 }\alpha ^{ n-1 })=(C_{ 0 }+C_{ 1 }\beta +\cdots +C_{ n-1 }\beta ^{ n-1 })\quad (C_{ i }\in F) \end{cases}$ 이라 정의 할 때,

$\psi _{ \alpha ,\; \beta  }$ : 동형사상 ⇔ $\alpha$, $\beta$ : F위에서 켤레

2. 고정체

확대체의 구조를 자기동형사상을 통하여 규명하려면 확대하기 전 부분체의 원소를 고정할 필요가 있다. 우리는 확대체의 모든 자기동형사상에 대하여 고정되는 원소를 모은 고정체라는 개념을 살펴보도록한다.

우선 고정에 대하여 정의하도록한다.

$\sigma :E\longrightarrow E$ : 자기동형사상일 때

$a(\in E)$ : $\sigma$에 의해 고정된다 ⇔ $\sigma (a)=a$

어떤 자기동형사상 집합의 모든 원소에 대하여 부분체 F를 고정할 때 그 집합은 F를 고정한다 라고 한다.

$S \subset Aut(E) \; F \le E$에 대하여

$S$ : $F$를 고정한다. ⇔ $\sigma (a)=a$ ($\forall \sigma \in S$, $\forall a \in F$)

$\sigma \in Aut(E)$에 대하여

$\sigma$ : $F$를 고정한다. ⇔ $\{\sigma \}$ : $F$를 고정한다.

확대체의 어떤 자기동형사상 집합이 고정하는 원소를 모은 것을 고정체라고한다.

$F \le E$일 때, $H \subset Aut(E)$에 대하여

$E_{ H }:=\{ a\in E|\sigma (a)=a\; (\forall \sigma \in H)\} \le E$

이를 고정체라고 한다.

3. 갈로아군

갈로아군이란 확대체의 자기동형사상중에 확대하기전 부분체를 고정시켜주는 동형사상을 모은 군이다. 갈로아군을 구성해보자.

우선 체의 자기동형사상을 모으면 군이 된다는 사실을 받아들이자.

체 E에 대하여

<$G=Aut(E)$, $\cdot$> : 군

이제 갈로아군을 구성해보자.

<갈로아 군>

$F \le E$일 때

$G(E/F):=\{ \sigma |\sigma :E\longrightarrow E:$ 자기동형사상 $s.t.\, \sigma |_{ F }=id_{ F }\} \le Aut(E)$

(또는 $Gal_F E$)

갈로아군의 고정체는 F의 확대체이며 E의 부분체이다.