13. 확대체

체의 다항식환에서 해가 존재하지 않는 기약다항식들이 있다. 에를 들어 유리수체의 다항식환 $\mathbb{Q} [x]$에서 $x^2 -2$와 같은 기약다항식은 본래 실수체 안에서는 $\sqrt{2}$라는 해를 가지고 있지만 유리수체에선 가지고 있지 않다. 그렇다면 그 해를 포함하도록 유리수체를 확장시켜줄 수는 없는 것일까? 이러한 관점에서 확대체라는 개념을 가지고 오자.

1. 확대체와 크로네커 정리

확대체란 기존의 체를 확장한 것으로서 쉽게 말하면 더 큰 체를 확대체라고 한다.

체 $E$, $F$에 대하여

$E$: $F$의 확대체 $\Leftrightarrow$ $F \le E$

체의 다항식환은 주아이디얼정역이므로 어떠한 기약다항식이 주어졌을 때 그 기약다항식으로 생성되는 아이디얼은 주아이디얼이다. 

그리고 기약원으로 생성되는 주아이디얼을 극대아이디얼이라고 정리하였다. 그러므로 기약다항식으로 생성되는 아이디얼로 나누어준 상환은 체가 된다.

체의 다항식환 $F[x]$와 $F$에서 기약인 기약다항식 $p(x)$에 대하여 $I=<p(x)>$는 극대아이디얼이므로 $E=F[x]/I$는 체가 된다.

그런데 영원이 아닌 $E$의 원소 $\alpha =x+I$에 대하여 $p( \alpha ) = p(x)+I =I$가 되므로 $E$는 $p(x)$의 해를 가지게 된다.

한편 단사준동형사상 $\phi : F \Longrightarrow F[x]/I$에 대하여 $\phi (a) = a+I$라고 하면 $\phi$에 의해 $a \longmapsto a+I$이므로 

$F$는 $F[x]/I$에 매장된다. 그러나 $F$나 $\phi (F)$나 구조상 동형이므로 같은 것으로 취급하면 $F[x]/I$는 F의 확대체가 된다.

그러므로 종합하면 체의 다항식환 $F[x]$와 $F$에서 기약인 기약다항식 $p(x)$에 대하여 $F[x]/<p(x)>$는 $p(x)$의 해를 가지는 $F$의 확대체가 된다.

이를 크로네커 정리라고 한다.

<크로네커 정리>

체 $F$에 대하여

(1) $p(x)$: $F$의 기약다항식 $\Rightarrow$ $F[x]/<p(x)>$ : $p(x)$의 해를 갖는 $F$의 확대체

(2) 상수 $\ne f(x) \in F[x]$ $\Rightarrow$ $\exists E$: $f(x)$의 해를 갖는 $F$의 확대체

2. 대수적, 초월적

그런데 체에서는 다항식의 해로 나타나는 수도 있고 그렇지 못한 수도 있다.

예를 들어서 유리수체에서 $\sqrt{2}$는 다항식 $x^2-2$의 해로 나타나지만 $\pi$, $e$와 같은 수는 다항식의 해로 나타낼 수 없다.

전자와 같은 수를 $\mathbb{Q}$에서 대수적이라고 하고 후자와 같은 수를 $\mathbb{Q}$에서 초월적이라고 한다.

이를 정리하면 다음과 같다.

$F \le E$, $\alpha \in E$에 대하여

(1) $\alpha$: $F$위에서 대수적

     $\Leftrightarrow$ $\exists f(x) \in F[x] \, s.t. \, f(\alpha )=0, f(x) \not \equiv 0$

     $\Leftrightarrow$ $\exists f(x) \in F[x] \, s.t. \, f(\alpha )=0, deg(f(x)) \ge 1$

(2) $\alpha$: $F$위에서 초월적

     $\Leftrightarrow$ $\alpha$: $F$에서 대수적이지 않다.

     $\Leftrightarrow$ $f(x) \in F[x]$에 대하여 $f(\alpha )=0 \Rightarrow f(x) \equiv 0$

특히 유리수체에서 대수적인 원소를 대수적 수 라고 하고 초월적인 원소를 초월적 수라고 한다.

3. 기약다항식(최소다항식)

$\mathbb{Q}$위에서 대수적인 원소 $\sqrt{2}$를 생각해보자. 이를 해를 가지는 방정식은 많다. 

우리의 관심은 대수적인 원소$\sqrt{2}$를 포함하는 최소의 체를 구성해보는 것이다. 그러기 위해서 좀 전에 언급하였던 크로네커 정리를 생각해보면

다음을 만족하는 $\mathbb{Q} [x]$내의 아이디얼이 필요하다.

(1) 체를 구성하도록 극대아이디얼 일것. => (PID에서)기약원 

(2) 구성한 체가 $\sqrt{2}$를 포함하도록 생성원은 $\sqrt{2}$를 해로가지는 방정식일 것이다.

이를 만족하는 다항식을 일반화해보면 다음과같은 성질을 지니게 된다.

$\alpha$ : $F$위에서 대수적일 때

$\exists ! p(x) \, s.t.$ (i)~(iv)

(i) $p(x) \in F[x]$

(ii) $p(\alpha )=0$

(iii) $p(x)$의 최고차계수 =1 (모닉다항식이다.)

(iv) $p(x)$ : $F$위에서 기약

이때, $p(x) =: irr(\alpha , F)$ ($\alpha$의 $F$위의 기약다항식[최소다항식])

       $deg (\alpha , F) := deg(irr(\alpha , F))$ 이라 한다.

이제 대입준동형사상을 생각해보자.

$F \le E$, $\alpha \in E$에 대하여 $\phi _{ \alpha  }:F[x]\longrightarrow E\; ,\; \phi _{ \alpha  }(f(x))=f(\alpha )$ : 준동형사상 이라 하자.

우리는 지금부터 $ker(\phi )$를 생각해볼 것이다.

$\alpha$가 대수적이라면 대수적원소의 정의에 의하여 $ker(\phi _{\alpha })=irr(\alpha , F)$이다. (영공간은 해를 가지는 기약다항식으로부터 span될것 이므로)

$\alpha$가 초월적이라면 초월적원소의 정의에 의하여 $ker(\phi _{\alpha })={0}$이다. (초월적인 원소를 대입해서 0이 나오는 함수는 0이다.)

더물어 $\alpha$가 초월적이면 영공간이 ${0}$이므로 대입준동형사상은 단사준동형이 된다. (이는 역도 성립하여 단사가 된다면 초월적원소이다)

만약 대수적 원소$\alpha$에 대하여 $f(\alpha )=0$ 이라면 $f(x) \in ker(\phi _{\alpha })=<p(x)>$ 이므로 $p(x)|f(x)$이다.

그러므로 $deg(f(x))$는 $deg(p(x))$보다 크거나 같다.

4. 단순확대체

이제 임의의 원소 $\alpha$를 가지는 확대체를 구성하자. 체 $F$가 $\alpha$를 포함하도록 확대되려면

$F$의 원소와 $\alpha$자신과 그 멱들의 일차결합이 전부 포함되어야 한다. 

그러한 확대체를 $F(\alpha ):=\left\{ c_{ 0 }+c_{ 1 }\alpha +c_{ 2 }\alpha ^{ 2 }+c_{ 3 }\alpha ^{ 3 }+\cdots |c_i \in F \right\}$라 정의하자.

참고로 $F$위에서의 대수적원소 $\alpha$에 대하여 $F[\alpha ]=F(\alpha )$이다.

그 이유는 대입준동형사상 $\phi _{ \alpha  }:F[x]\longrightarrow F[\alpha ]\; ,\; \phi _{ \alpha  }(f(x))=f(\alpha )$에 대하여

$F[x]/ker(\phi _{ a })\cong \phi _{ a }(F[x])=F[\alpha ]$ 이므로 ker이 기약다항식이 되므로 $F[\alpha ]$는 체이다.

$F(\alpha )$는 $\alpha$를 포함하는 최소의 체이므로 $F(\alpha )\subset F[\alpha ]$ 한편 $F[\alpha ]$는 $F$의 원소와 $\alpha$자신과 그 멱들의 일차결합이므로 $F[\alpha ]\subset F(\alpha )$ 이기 때문이다.

비슷한 방식으로 초월적 원소에 대하여는 $F[\alpha ]\cong F[x]$이다. 정역이다. 즉 초월적원소의 확대체는 이런 방식으로 만들 수 없다. 하지만 여기에서 $F[\alpha]$의 분수체를 생각하면 그것을 $F(\alpha )$라고 한다.

이제 단순확대체를 정의하자. 단순확대체는 원소하나를 넣어서 만든 최소의 체를 뜻한다.

$F \le E$에 대하여

$E$ : $F$의 단순확대체 $\Leftrightarrow$ $\exists \alpha \in E \, s.t. \, E=F(\alpha)$

이러한 단순확대체를 선형대수적으로 생각해보자.

대수적인 원소 $\alpha$가 있다고 하자. 그리고 $deg(\alpha , F)=n< \infty$ (기약다항식의 차수가 유한) 이라 하자.

$\alpha$를 해로 가지는 기약다항식이 존재하므로 $\alpha$에 n차 이상의 멱을 취하면 그것은 n차 이하의 멱의 일차결합으로 표시된다.

그러므로 $\mathscr{B} =\{ 1,\alpha ,\alpha ^{ 2 },\cdots ,\alpha ^{ n-1 }\}$는 $F$위에서 $F(\alpha )$를 span한다.

$\mathscr{B}$의 원소의 일차결합을 0라 한다면 deg가 n-1이고 이는 기약다항식이 n차라는 것에 모순되므로 각 일차결합의 계수가 0이 되어 일차독립이다.

즉, $\mathscr{B}$ $=\{ 1,\alpha ,\alpha ^{ 2 },\cdots ,\alpha ^{ n-1 }\}$ 은 $F$위에서 $F(\alpha )$의 기저이다.

이제 기저가 정해졌으니 차원도 정해줄 수 있다. 벡터공간의 차원을 $dim_{ F }F(\alpha )=:[F(a):F]$이라하고 이를 차수라고 한다.

$F\le K$, $\alpha (\in K)$: F위에서 대수적, $deg(\alpha , F)=n$일 때,

(1) $\mathscr{B}$ $=\{ 1,\alpha ,\alpha ^{ 2 },\cdots ,\alpha ^{ n-1 }\}$ : $F$위의 $F(\alpha)$의 기저

(2) $[F(a):F]=dim_{ F }F(\alpha )=n=deg(\alpha ,F)=deg(irr(\alpha ,F))$