빛쌤의 수학이야기

실직선의 위상

Bitssam — Wed, 7 Jun 2017 18:25:12 +0900

실수의 완비성을 토대로 우선 실수공간에서의 기본적인 개념들을 정리하고자 한다.

1. 개집합과 폐집합

실수의 가까이 다가감을 정의하기 위해서는 실수 사이의 원근관계를 정의해 두어야 한다.

어떤 점을 기준으로 일정거리에 있다는 것을 어떻게 표현할 수 있을까?

어떤 점 $c$를 놓고 $c$주변으로 $\varepsilon$만큼의 거리 안에 있는 점들을 정의해보자. 이 점은 개구간 $(c-\varepsilon , c+\varepsilon )$이라 할 수 있다.

이 구간을 $c$의 $\varepsilon$-근방이라 정의하도록 하자.

엡실론-근방을 정의하였으면 이제 개구간 $(a,b)$에 대하여 탐구하여보자.

임의의 $c \in (a,b)$에 대하여 $(c-\varepsilon , c+\varepsilon ) \subset (a,b)$가 되도록 $\varepsilon$을 둘 수 있다.

즉, 개구간의 임의의 원소는 그 개구간 안에 엡실론-근방을 가지고 있다. $\varepsilon = min\{c-a,b-c\}$라 하면 쉽게 설명된다.

집합이 열려있다는 것은 바로 이것을 의미한다.

어떤 집합의 원소를 택하더라도 그 원소의 엡실론-근방이 집합에 포함되면 그 집합이 열려있다고 말한다.

반대로 닫혀있다는 것은 여집합이 개집합일 때를 정의한다. 정리하자면 다음과 같다.

실수의 집합 $\mathbb{R}$의 부분집합 $O$의 각 점 $x \in O$에 대하여, 이에 대응하는 적당한 $\varepsilon >0$이 존재하여 $(c-\varepsilon , c+\varepsilon ) \subset O$가 될 때, 집합 $O$를 개집합(open set)이라고 한다. 또, $F \subset \mathbb{R}$에 대하여 $F^C$가 개집합이 될 때, 집합 $F$를 폐집합(closed set)이라고 한다.

2. 내점과 집적점

어떤 점 근방에 무한히 많은 점이 있다는 것은

아무리 그 근방의 크기를 작게하여 그 점만을 취하려고 해도 다른 점이 걸려든다는 것으로도 생각할 수 있다.

즉, $a$라는 점에 대하여 임의의 엡실론-근방 $(a-\varepsilon , a+\varepsilon)$을 잡았을 때 어떤 집합$S$의 원소를 포함할 때 점 $a$를 $S$의 집적점이라 한다.

$S$의 집적점의 집합 $S'$와 $S$와의 합집합 $S \cup S'$를 $S$의 폐포라 하며 $\bar{S}$라 쓴다.

어떤 점이 집합의 안쪽에 있다는 것은 집합의 경계와 거리가 어느정도 있어서

적당한 엡실론-근방을 잡아서 안쪽으로 들어간다는 것으로 표현될 수 있다.

즉, $a \in S$에 대하여 $(a-\varepsilon , a+\varepsilon) \subset S$을 만족하는 $\varepsilon >0$이 존재하면 $a$를 $S$의 내점이라 한다. 이를 정리하면 다음과 같다.

$a$가 $S$의 집적점
$\Longleftrightarrow$ $\forall \varepsilon >0 , (a-\varepsilon , a+\varepsilon) \cap S \ne \emptyset$

$a$가 $S$의 내점
$\Longleftrightarrow$ $\exists \varepsilon >0$ s.t. $(a-\varepsilon , a+\varepsilon) \subset S$

이에 따른 개집합과 폐집합의 필요충분조건 또한 알 수 있다.

집합 $O$가 개집합
$\Longleftrightarrow$ $\forall x \in O$, $x$는 내점

집합 $F$가 폐집합
$\Longleftrightarrow$ $F' \subset F$

실해석학의 출발점, 실수의 완비성공리

Bitssam — Fri, 17 Feb 2017 00:13:46 +0900

실함수에 미분과 적분이라는 개념을 적용하려면 연속성이라는 성질을 바탕으로 적용해야 할 것이다.

결국 실함수에서 연속성이라는 성질을 만족시키려면 우선 실수계가 연속성을 만족하는지부터 살펴보아야 그 순서가 맞을 것이다.

오늘 다루어볼 실수의 완비성공리는 실수계에 연속성을 부여함으로써 실해석(real analysis)을 가능하게 해주는 중요한 성질이다.

1. 완비성공리는 직관적으로 무엇을 의미하는 것인가?

완비성공리를 직관적으로 쉽게 설명하자면 실수계는 순서구조상 빈틈이 없는 시스템이라는 것이다.

이렇게 간단하게 이야기 하더라도 처음 다루었을 때 매우 생소하고 어렵다. 수직선이라는 도구를 통하여 조금 더 직관적으로 설명을 달아보도록 하자.

어떤 지점 $\alpha$에 한 없이 커지면서 가까이 가는 수열 ${x_n}$이 있다고 생각해보자. 그렇다면 이 수열의 종착점 $\alpha$라는 수가 존재할 것인가?

이것이 바로 실수의 중요한 성질, 완비성이다.

만약 수직선에 빈틈이 있어 $\alpha$라는 수가 존재하지 않는다면 이 수열의 종착점은 존재하지 않는다.

그러므로 실수계가 빈틈이 없어야 한 점에서의 극한을 정의할 수 있는 시작이 될것이다.

기껏 극한을 정의하였는데 그 극한값이 실수계에 존재하지 않는 불상사가 생기지 않으려면 말이다.

그만큼 완비성공리는 모든 실해석의 개념에 중요한 논리적 기반이 된다.

2. 수학적으로 어떻게 표현할 것인가?

이를 수학적인 언어로 표현해내어 앞으로의 논리체계의 근간을 이루도록 해보자. 일단 $\alpha$라는 점의 수학적인 의미를 부여해야 할 것이다.

앞에서 살펴보았던 대로 $\{x_n\}$은 $\alpha$로 한없이 가까이 가기는 하지만 $\alpha$에 도달하지는 않는다.

이렇게 실수 $\mathbb{R}$의 부분집합 $\{x_n\}$의 모든 원소가 $\alpha$보다 작을 때 우리는 $\alpha$를 $\{x_n\}$의 상계라 부르기로 한다. 그리고 $\{x_n\}$을 위로 유계인 집합이라고 부르자.

이를 정리하여 다음과 같이 정의하도록 하자.

$\mathbb{R}$의 공이 아닌 부분집합 $S$에 대하여, 명제
「모든 $x \in S$에 대하여, $x \le u$인 $u \in \mathbb{R}$가 존재한다.」
를 만족할 때, 집합 $S$는 위로 유계라고 한다. 이 때, $u \in \mathbb{R}$을 $S$의 상계라고 한다.

반대로, 명제
「모든 $x \in S$에 대하여, $x \ge l$인 $l \in \mathbb{R}$가 존재한다.」
를 만족할 때, 집합 $S$는 아래로 유계라고 한다. 이 때, $l \in \mathbb{R}$을 $S$의 하계라고 한다.

또한 위로 유계임과 동시에 아래로 유계이면 그 집합은 유계라고 간단히 말한다.

지금 우리는 $\alpha$를 $\{x_n\}$의 상계라 부르기로 했다. 그러나 상계라는 것은 $\alpha$보다 큰 수도 얼마든지 상계가 될 수 있으므로 $\alpha$를 정의하기에는 범위가 너무 넓다.

바로 전에 한 말에 $\alpha$를 조금더 엄밀히 정의하기 위한 실마리가 있다. 바로 $\alpha$는 상계중에서 가장 작은 수가 된다는 사실이다.

$\alpha$보다 작은 수를 $\beta$라 하면 분명히 $\alpha$와 $\beta$ 사이에는 $\{x_n\}$의 원소가 반드시 존재할 것이다.

그러므로 우리는 $\alpha$를 상계 중에 가장 작은 수라는 의미로 최소상계라 이름 붙일 것이며 상한($\alpha = \sup { \{x_n\} }$)이라고도 부른다.

이를 정리하여 다음과 같이 정의하도록 하자.

$\mathbb{R}$의 공이 아닌 부분집합 $S$가 위로 유계라고 하자. 다음의 두 조건을 만족하는 $\alpha \in \mathbb{R}$가 존재 할 때, $\alpha$를 $S$의 상한 또는 최소상계라고 한다.

(1) $\alpha$는 $S$의 상계이다. ($\leftrightarrow$모든 $x \in S$에 대하여, $x \le \alpha$이다.)
(2) $\beta \in \mathbb{R}$이고 $\beta < \alpha$이면 $\beta$는 $S$의 상계가 될 수 없다.
($\beta < \alpha$ $\rightarrow$ $\exists$ $x \in S$ s.t. $\beta < x \le \alpha$)

최대하계(하한) 또한 이와 같은 방법으로 정의하며 $\inf S$라 표현한다.

결과적으로 실수의 완비성은 이러한 성질을 지닌 $\alpha$의 존재성을 의미한다는 것을 알 수 있다. 또한 실수는 $\alpha$의 성질을 모두 지니고 있다고 볼 수 있다.

그러므로 우리는 실수의 완비성공리를 다음과 같이 표현하고자 한다.

$\mathbb{R}$의 공집합이 아닌 부분집합 $S$가 위(아래)로 유계이면, 반드시 그 상한(하한)이 존재한다.

3. 완비성공리, 왜 실수의 중요한 성질일까? (부제 : 다른 수체계는?)

사실 유리수나 무리수라는 수체계 또한 빽빽하게 수가 존재하는 수체계이다.

어느정도냐면 어떤 임의의 두 실수 사이에 반드시 유리수와 무리수가 존재할 정도이다.

이를 유리수의 조밀성, 무리수의 조밀성이라 한다.

$a,b \in \mathbb{R}$에 대하여 $a<b$ $\Rightarrow$ ① $\exists q \in \mathbb{Q}$ s.t. $a<q<b$ (유리수의 조밀성)

② $\exists r \in \mathbb{R-Q}$ s.t. $a<r<b$ (무리수의 조밀성)

(조밀성을 생각할 때는 사이에 또 수가 존재한다고 생각하면 직관적으로 이해할 수 있다. 하지만 위상적으로 엄밀히 정의하면 유리수,무리수의 폐포가 실수.)

하지만 유리수라는 수체계는 완비성공리를 만족하지는 않는다. 빈틈이 존재하기 때문이다. 이를 증명하기 위해 데데킨트 절단이라는 도구를 이용하고자 한다.

데데킨트 정리에 대하여 살펴보자.

$A,B \subset \mathbb{R}$에 대하여

① $A \cup B = \mathbb{R}$
② $A,B \ne \emptyset$
③ $\forall a \in A$, $\forall b \in B$에 대하여 $a<b$

$\Rightarrow$ $\exists ! \alpha \in R$ s.t. $a \le \alpha \le b$

(이때, $A$,$B$ : $\mathbb{R}$의 데데킨트 절단)

데데킨트 절단은 실수계에선 어떻게 설정하던 데데킨트 정리를 만족하게 되어 있다. 이는 실수계의 완비성공리에 의한 것이다.

그 이유에 대하여 잠시 생각해보면 집합$A$에 대하여 모든 $b$가 $A$의 원소보다 크므로 $A$는 위로 유계이므로 완비성공리에 의하여 최소상계 $\alpha$를 갖는다.

$A$의 최소상계는 $A$의 상계인 $b$중에서 가장 작은 것이므로 데데킨트 정리의 결론을 만족한다.

이제 그 점이 유일한지만 살펴보면 충분하다. $\alpha$, $\beta$가 $a$보다 크거나 같으며 $b$보다 작거나 같다고 생각해보자.

$\alpha$와 $\beta$가 서로 다른 수라고 가정해보자.

$r= \frac {\alpha + \beta}{2}$이라 생각해보면 $r$은 $A$의 원소이거나 $B$의 원소이어야 하지만 둘다 조건에 모순이 되므로

$\alpha = \beta$일 수 밖에 없으며 이는 그 수가 유일함을 뜻한다.

그런데 유리수의 데데킨트 절단을 다음과 같이 설정 해보면 데데킨트 정리가 성립하지 않는다. 즉, 두 데데킨트 절단 사이에 빈틈이 있다는 것이다.

$A=\left\{ x\in { Q }|x<0 \quad or \quad x^{ 2 }<2 \right\} $
$B=\left\{ x\in { Q }|x \ge 0 \quad or \quad x^{ 2 } \ge 2 \right\} $

이 수를 실수 범위로 확장해보면 무리수$\sqrt{2}$가 될 것이다.

데데킨트 정리는 사실 완비성공리와 동치이다.

(궁금하면 임의의 위로 유계인 집합을 잡고, 상계로 이루어진 집합과 그 여집합을 데데킨트 절단으로 놓고 최소상계의 존재성을 증명해보길..)

결국 완비성공리는 실수계의 아주 중요하면서 대표적인 성질로서 극한의 설정을 가능케 해주는 기반이 될 것이다.

행렬과 determinant

Bitssam — Fri, 6 Nov 2015 17:20:42 +0900

선형대수학의 여정에서 행렬을 도구로 선형방정식의 해법을 알아낼것이기 때문에 행렬을 잘 조작해내는 것은 매우 중요한 기술이다. 그러기 때문에 행렬에 대한 간단한 정리들을 알아보게 될것이다 그리고 역행렬과 determinant를 정의해볼 것이다. 행렬이 무엇인가? 라는 기초적인 부분부터 나가는 것은 별 의미가 없다. 기본서에서 충실히 다루고 있기 때문이다. 그러므로 몇가지 많이 쓰이는 정리들이나 연산 중심으로 이 절을 전개하고자한다.

1. 행렬의 종류

고등학교 교육과정을 잘 밟아왔다면 행과 열이 무엇인지는 충분히 습득하고 있을 것이다. (물론 2009 개정교육과정에 따른 수학과 교육과정(현교육과정)에서는 제외 되어 있으므로 해당교육과정에 따라 배웠던 사람은 행렬이 무엇인지부터 공부해야 한다.) 그래서 우리는 이런부분을 과감히 지나치고 새로운 Notation 위주로 정리해보겠다.

다음과 같은 행렬이 있다.

$$A= \begin{pmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } \end{pmatrix}$$

여기서 1행을 $A_{(1)}$이라 표기하고 1열을 $A^{(1)}$로 표기할 수 있다.

그러므로 행렬 $A$를 다음과 같이 표기할 수도 있게 된다.

$$A=\begin{pmatrix} A^{ (1) } & A^{ (2) } & A^{ (3) } \end{pmatrix}$$

$$A=\begin{pmatrix} A_{ (1) } \\ A_{ (2) } \end{pmatrix}$$

행렬의 모양이 삼각형으로 되어있는 행렬이 있다. 예컨대

$A=\begin{pmatrix} a_{ 11 } & * & * \\ \; & \ddots & * \\ 0 & \; & a_{ nn } \end{pmatrix}$

이렇게 생긴 행렬을 상삼각행렬이라고 한다.

$A=\begin{pmatrix} a_{ 11 } & \; & 0 \\ * & \ddots & \; \\ * & * & a_{ nn } \end{pmatrix}$

이렇게 생긴 행렬을 하삼각행렬이라고 한다.

행과 열을 뒤바꿔서 놓은 행렬을 Transpose행렬(우리말로는 전치행렬)이라고 한다. $A$의 전치행렬은 $A^T$라 표기한다.

예를 들면 다음과 같다.

$A=\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}\quad A^{ T }=\begin{pmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{pmatrix}$

Transpose의 연산상 특징은 다음과 같다.

(1) $(A+B)^T=A^T+B^T$

(2) $(kA)^T=kA^T$

(3) $(A^T)^T=A$

(4) $(AB)^T=B^TA^T$

(5) $(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$

trace란 행렬의 대각성분의 합이다. 이와 관련된 성질은 다음과 같다.

(1) $tr(AB)=tr(BA)$

(2) $tr(B^{-1}AB)=tr(ABB^{-1})=tr(A)$

2. determinant

행렬에 관한 이것저것을 정리하다보니 조금 뒤죽박죽 정리된 감이 없지는 않으나 바로 행렬식으로 진행하겠다. 행렬식도 기존의 지식을 나열하는 방식으로 진행한다.

행렬식의 정의는 우리가 기존에 익숙한 방식이 아니다. 계산상 한계가 있어 잘 쓰이진 않지만 확인해두자.

$A=(a_{ij})_{n \times n}$에 대하여

$$\det(A):=\sum _{ \sigma \in S_{ n } }^{ }{ sgn(\sigma ) } a_{ 1\sigma (1) }\cdots a_{ n\sigma (n) }$$

여기서 sgn이라는 함수는 부호함수로서 우치환인 경우 1, 기치환인 경우 -1의 값을 지닌다.

보다시피 너무나도 어렵다. 그러므로 우리는 determinant의 다른 계산법을 많이 쓰곤 한다. 다음의 예시를 참고하면 도움이 될 것이다.

다음과 같은 행렬 $A$에 대하여

$A=\begin{pmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{pmatrix}$

$\det (A)=\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{vmatrix}$

$=a_{ 11 }\begin{vmatrix} a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{vmatrix}+(-1)a_{ 12 }\begin{vmatrix} a_{ 21 } & a_{ 23 } \\ a_{ 31 } & a_{ 33 } \end{vmatrix}+a_{ 13 }\begin{vmatrix} a_{ 21 } & a_{ 22 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } \end{vmatrix}\\ =(-1)a_{ 21 }\begin{vmatrix} a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{vmatrix}+a_{ 22 }\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 13 } \\ a_{ 31 } & a_{ 33 } \end{vmatrix}+(-1)a_{ 23 }\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } \end{vmatrix}\\ =a_{ 31 }\begin{vmatrix} a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{ 22 } & a_{ 23 } \end{vmatrix}+(-1)a_{ 32 }\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 13 } \\ a_{ 21 } & a_{ 23 } \end{vmatrix}+a_{ 33 }\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } \end{vmatrix}$

참고로 -1이 들어가는 기준은 다음과 같다.

$\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}$

행렬식의 성질들을 나열하면 다음과 같다.

- 단위행렬의 determinant는 1

- 상삼각, 하삼각의 determinant는 대각성분의 곱

- 행렬과 그의 transpose는 행렬식이 같다.

- 하나라도 전부 영행이나 영열이 있다면 determinant는 0이다.

(그러므로 두 행이나 열이 같은것이 존재한다면 determinant는 0이다.)

- 두 행렬의 곱의 determinant는 determinant끼리의 곱과 같다.

- 역행렬의 determinant는 원래 행렬의 determinant의 역수이다.

- determinant는 행과 열에 대하여 linear하다.

예를 들어, $\begin{vmatrix} a_{ 11 } & \cdots & a_{ 1n } \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ pa_{ i1 }+qb_{ i1 } & \cdots & pa_{ in }+qb_{ in } \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{ n1 } & \cdots & a_{ nn } \end{vmatrix}=p\begin{vmatrix} a_{ 11 } & \cdots & a_{ 1n } \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{ i1 } & \cdots & a_{ in } \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{ n1 } & \cdots & a_{ nn } \end{vmatrix}+q\begin{vmatrix} a_{ 11 } & \cdots & a_{ 1n } \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ b_{ i1 } & \cdots & b_{ in } \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{ n1 } & \cdots & a_{ nn } \end{vmatrix}$

그러므로 각 행과 열을 실수배하고 다른 행과 열에 더하고 빼는 기본 변환에는 determinant가 변하지 않는다.

- 두 행이나 열을 서로 교환한다면 determinant는 부호가 바뀐다.

- n차 정방행렬에서 $A,B,C,D$가 적어도 하나는 영행렬이면

$\det \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}=\det (A) \det (D)- \det (B) \det (C)$

3. 역행렬

행렬의 곱셈이 기존의 익숙하던 연산과 많이 다르기 때문에 그에 대한 역원을 구하는 것도 많이 다르다. 역행렬의 계산법에 대하여 알아보도록 하자.

행렬 $A$의 determinant를 구하던 과정중 다음과 같은 과정을 보게된다.

$\det (A)$ $=a_{ 11 }\begin{vmatrix} a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{vmatrix}+(-1)a_{ 12 }\begin{vmatrix} a_{ 21 } & a_{ 23 } \\ a_{ 31 } & a_{ 33 } \end{vmatrix}+a_{ 13 }\begin{vmatrix} a_{ 21 } & a_{ 22 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } \end{vmatrix}\\ =(-1)a_{ 21 }\begin{vmatrix} a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{vmatrix}+a_{ 22 }\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 13 } \\ a_{ 31 } & a_{ 33 } \end{vmatrix}+(-1)a_{ 23 }\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } \\ a_{ 31 } & a_{ 32 } \end{vmatrix}\\ =a_{ 31 }\begin{vmatrix} a_{ 12 } & a_{ 13 } \\ a_{ 22 } & a_{ 23 } \end{vmatrix}+(-1)a_{ 32 }\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 13 } \\ a_{ 21 } & a_{ 23 } \end{vmatrix}+a_{ 33 }\begin{vmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } \end{vmatrix}$

여기서 $\begin{vmatrix} a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{vmatrix}$ 와 같은 부분을 보았다. 위와 같은 부분을 11성분에 대한 소행렬식이라고 한다.

그리고 $\begin{pmatrix} a_{ 22 } & a_{ 23 } \\ a_{ 32 } & a_{ 33 } \end{pmatrix}$ 을 11성분에 대한 소행렬이라고한다.

소행렬식에 + -부호를 붙여주면 이것을 11성분에 대한 여인자 라고 한다. 여인자를 모아놓은 행렬을 transpose를 하면 $A$의 수반행렬이 된다.

정리하면 다음과 같다.

$M_{ij}$: $i$행과 $j$열을 삭제한 행렬 ($ij$성분에 대한 소행렬)

$D_{ij}:= \det (M_{ij})$ ($ij$성분에 대한 소행렬식)

$A_{ij}:= (-1)^{i+j} D_{ij}$ ($ij$성분에 대한 여인자)

$Adj(A):= (A_{ij})^T$ ($A$의 수반행렬)

<역행렬 구하는 방법들>

다음은 역행렬을 구하는 몇가지 방법들이다. 증명은 생략하도록 하겠다.

방법 1: 수반행렬과 determinant를 이용하기

$A^{-1}= \frac {1}{\det (A)} adj(A)$

우리가 흔히 접해보았던 낯이 익은 형식이다. 그 공식의 수학적 표현이다. 2차나 3차정도까진 해볼만 하지만 그 이상은 많이 귀찮아진다.

방법 2: 기본행변환 이용하기

3차 이상부턴 이게 더 나을지도..

연립방정식의 풀이를 하는 공식인 크래머공식을 소개한 후 마친다. 역시 증명은 생략이다.

연립방정식 $A\begin{pmatrix} x_{ 1 } \\ \vdots \\ x_{ n } \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b_{ 1 } \\ \vdots \\ b_{ n } \end{pmatrix}$ 의 해는

$x_{ i }=\frac { \det (A_{ i }) }{ \det (A) }$

여기서 $A_{ i }=\begin{pmatrix} a_{ 11 } & \cdots & a_{ 1\, i-1 } & b_{ 1 } & a_{ 1\, i+1 } & \cdots & a_{ 1n } \\ \vdots & \; & \vdots & \vdots & \vdots & \; & \vdots \\ a_{ n1 } & \cdots & a_{ n\, i-1 } & b_{ n } & a_{ n\, i+1 } & \cdots & a_{ nn } \end{pmatrix}$

[그래프 이론] 클릭(clique)이란 무엇인가?

Bitssam — Wed, 4 Nov 2015 18:30:14 +0900

클릭이라는 것은 완전그래프인 부분그래프를 의미한다.

그러면 먼저 완전그래프가 무엇인지 알아보자.

완전그래프 (complete graph)
⇔ 임의의 서로 다른 두 꼭지점이 인접하고 위수가 n인 단순그래프

클릭이란 그래프에서 완전그래프를 만족하는 부분그래프를 뜻한다.

C: 클릭 (clique)
⇔ C: 부분그래프이면서 완전그래프

예를 들어 위 그래프에서 크기가 4인 클릭은 보다시피 진한 파란색으로 표시되어 있다. (4개의 꼭지점이 빠짐없이 인접)

크기가 3인 클릭은 하늘색으로 표시되어있다. (3개의 꼭지점이 빠짐없이 인접)

클릭수(clique number)란 그래프에서 최대 클릭의 크기를 이야기한다. $\omega (G)$라고 표시한다.

예를 들어 위 그래프에서 클릭수는 4가 된다.

19. 갈로아 이론과 5차방정식의 비가해성

Bitssam — Wed, 28 Oct 2015 20:41:14 +0900

드디어 학부현대대수의 꽃이라 할 수 있는 갈로아이론에 접어들었다.

갈로아이론은 체의 구조를 군의 구조로 바꿔서 체의 구조를 집작해볼 수 있는 아주 신박한 도구라 할 수 있다.

이로 인하여 방정식의 가해성을 분해체의 가해성으로, 분해체의 가해성을 갈로아군의 가해성으로 변환하여 구하기 어려운 방정식의 가해성 규명을 쉽게 해준다.

우선 갈로아 확대체부터 정의하도록하자.

1. 갈로아확대체

갈로아확대체를 정의하기 전에 우선 정규확대체라는 것을 정의하도록 하자.

정규확대체는 대수적확대체로서 부분체의 모든 기약다항식에 대하여 분해가능하도록 구성한 체이다.

$K$: $F$의 정규확대체

⇔ (i) $K$: $F$의 대수적 확대체

(ii) $f(x)$: $F[x]$의 기약다항식, $f(\alpha )=0$ $(\alpha \in K)$ ⇒ $f(x)$: $K$위에서 분해가능

이어서 바로 갈로아확대체를 정의하자

갈로아 확대체는 유한정규분리확대체로서 다음과 같은 동치조건을 가진다.

$K$: $F$의 갈로아 확대체

⇔ $K$; $F$의 유한정규분리확대체

⇔ (i) $K$: $F$의 유한확대체

(ii) $S=G(K/F)$에 대하여 $K_s =F$

왜 동치조건인지는 증명 없이 받아들이도록 한다.

2. 갈로아이론의 중심정리(주정리)

갈로아확대체라는 조건에선 유한정규분리확대체 라는 조건을 만족하므로 저번에 증명하였던 등식이 성립한다.

$|G(E/F)|=\{E:F\}=[E:F]$

이제 확대체의 구조를 갈로아군의 구조로 파악하는 갈로아이론의 중심정리를 제시할 준비가 끝났다.

증명을 피한 채 예를 들어 알아보자.

$K=Q(\sqrt{2}, \sqrt{3})$를 생각해보면 $K$는 유한확대체이고 갈로아군의 고정체가 $F=Q$이다. 그러므로 $K$는 $F=Q$의 갈로아 확대체이다.

이 확대체의 구조를 살펴보기 위하여 두가지 집합을 동시에 가져와 생각해보자.

$S= \{E|F \le E \le K \}$ : 확대체와 부분체의 중간체들

$T= \{H|H \le G(K/F) \}$ : 갈로아군의 부분군들

다음은 두 집합을 그림으로 표현한 것이다.

(화살표방향은 더 큰방향이다. 부분군, 확대체개념을 나타낸것이다. 색깔별로 대응해서 보면 된다.)

하나의 체와 하나의 갈로아군이 대응을 이루고 각 확대체의 차수가 확장된 자기동형사상의 개수와 같다는 것을 알 수 있다.

그러나 화살표를 보면 커지는 방향이 바뀌었다는 것을 알 수 있을것이다.

이와 같이 체에서의 확대체는 군에서의 부분군과 대응을 이룬다. 이 원소들을 대응하여주는 동형사상을 정하는데 이것을 갈로아대응이라 한다.

이제 정의하여보자.

$K$ : $F$의 갈로아 확대체
$S=\{ E|F\le E\le K\} $ (체)
$T=\{ H|H\le G(K/F)\} $ (군) 에 대하여

$\lambda :\; S\longrightarrow T,\quad \lambda (E)=G(K/E)\quad (E\in S)$

(1) ① $\lambda$: 전단사
② $\lambda ^{ -1 }(H)=K_{ H }\quad (\forall H\in T)$ (역사상은 고정체이다.)
$E=\lambda ^{ -1 }(G(K/E))=K_{ G(K/E) }$
(2) $E$, $L \in S$일 때
① $E \le L \Leftrightarrow G(K/E) \ge G(K/L)$ (확대체는 부분군으로 대응된다.)
② $E \le L$일 때 $[L:F]=[G(K/E):G(K/L)]$ (차수는 갈로아군의 지수로 대응된다.)
(3) $E \in S$에 대하여
$E$ : $F$의 정규확대체
⇔ $G(K/E) \triangleleft G(K/F)$ (정규확대체는 정규부분군으로 대응된다.)

3. 유한체의 갈로아군

우리는 유한체의 갈로아군의 구조를 알아보려한다.

유한체의 갈로아군을 밝히기전 우리는 먼저 알아보았던 유한체의 분해체를 언급하면서 시작하겠다.

$E\le \overline { Z_{ p } } ,\; |E|=p^{ n }\; (n\in Z^{ + })$일 때
$f(x)=x^{ p^{ n } }-x\; (\in Z_{ p }[x])$
⇒$E=\{ \alpha \in \overline { Z_{ p } } |f(\alpha )=0\} $ (즉 $E$: $Z_p$위의 $f(x)$의 분해체)

즉 유한체의 유한확대체는 분해체라는 사실을 상기하자.

이제 유한체 위의 갈로아군의 구조를 알아보도록 하자.

$F$ : 유한체, $K$: $F$의 유한확대체 s.t. $[K:F]=n$ 일 때
$G(K/F)=<\sigma _{p^r}>$ (단, $|F|=p^r$)

(즉, 유한체위의 갈로아군은 위수 $n$인 순환군 $\cong Z_n$)

[증명] $\sigma _{p^r} (\alpha )= \alpha ^{p^r}$ $(\alpha \in K)$이라 할 때 $\sigma _{p^r}$은 자기동형사상이고 F의 원소를 고정한다는 사실을 계산해보면 알 수 있다. 그러므로 $\sigma _{p^r}$은 갈로아군의 원소이다. 그리고 $\sigma _{p^r}$의 order는 갈로아군의 위수와 같다. 왜냐하면 $\sigma _{p^r}$는 갈로아군의 원소기 떄문에 order는 갈로아군의 위수보다 작을 것이다. 하지만 $\sigma _{p^r}$의 멱이 항등사상이 되려면 분해체를 계산할 때 제시한 다항식을 이용하면 갈로아군의 위수보다 커야한다. 고로 order는 갈로아군의 위수와 같다. 그러므로 갈로아군은 $\sigma _{p^r}$를 생성원으로 하는 순환군이다.

4. 5차방정식의 비가해성

이제 클라이막스에 치닫고 있다. 이제 5차방정식의 비가해성을 간단하게나마 증명해볼것이다.

우선 근의 가해성을 어떻게 나타낼수 있을지 알아보자. 다항식은 거듭제곱으로 이루어져 있기 때문에 근을 거듭제곱하여 거슬러 올라가면 풀수 있다는 생각을 해볼 수 있다. 그러므로 거듭제곱에 의하여 가해성을 정의하여보자.

체 $F$와 $f(x) \in F[x]$에 대하여
(1) $K$: $F$의 거듭제곱근에 의한 확대체
⇔ (i) $K=F(\alpha _1, \cdots , \alpha _r)$
(ii) $\alpha _{ 1 }^{ n_{ 1 } }\in F,\; \alpha _{ 2 }^{ n_{ 2 } }\in F(\alpha _{ 1 }),\; \cdots ,\; \alpha _{ r }^{ n_{ r } }\in F(\alpha _{ 1 },\cdots ,\alpha _{ r-1 })\quad (\exists n_{ 1 },\cdots ,n_{ r }\in Z^{ + })$ (거듭제곱이 속하고 거듭제곱이 속하고..)
(2) $f(x)$: $F$위에서 거듭제곱근에 의해 풀 수 있다.
⇔ $\exists K$: $F$의 거듭제곱근에 의한 확대체 s.t. $F$위의 $f(x)$의 분해체 $\subset K$

그러나 실제로 확대체를 분석하여 가해성을 알아보기는 쉬운일이 아니다.

그러므로 갈로아군의 가해성을 이용하여 근의 가해성을 알아보는데 이것을 갈로아 판정법이라고 한다.

체 $F$, $f(x) \in F[x]$
(1) $F$위의 $f(x)$의 갈로아군 = $G(K/F)$ ($K$: $F$위의 $f(x)$의 분해체)
(2) <갈로아판정법> $Char(F)=0$일 때
$f(x)$: $F$위에서 거듭제곱근에 의해 풀 수 있다.
⇔ $F$위의 $f(x)$의 갈로아군 : 가해군

예를 들어서 한 5차 다항식의 비가해성을 증명해보면서 마치고자 한다.

$f(x)=2x^5-10x+5$ ($\in Q[x]$)
: $Q$위에서 거듭제곱근에 의해 풀 수 없음을 증명하시오

[풀이] 아이젠슈타인 판정법에 의하여 $f(x)$는 기약다항식이다. $K$=$f(x)$의 $Q$위의 분해체에 대하여

$Q$위의 $f(x)$의 갈로아 군=$G(K/Q) \cong S_5$이다.

($f(x)=0$은 3개의 실근, 2개의 허근을 가지고 (미적분학의 개념을 이용하면) 치환군에서 길이 5인 치환과 호환이 있으면 $S_5$와 동형이라는 사실을 이용하면 된다.)

그런데 $S_5$는 가해군이 아니므로 갈로아판정법에 의하여 비가해성이 증명된다.

17. 동형확장정리와 분해체, 분리확대체

Bitssam — Wed, 28 Oct 2015 00:41:41 +0900

갈로아군의 구조를 파악하는 것은 확대체의 구조를 파악하는 것이나 마찬가지이다. 갈로아군을 하나하나 계산하는 것은 힘든 일이다.

그러나 갈로아군의 위수로 갈로아군을 분류할 수 있다. 왜냐하면 우리는 유한군의 분류를 어떻게 하는지 군론에서 배웠기 때문이다.

즉, 갈로아군의 위수를 알수 있다면 갈로아군의 구조를 짐작할 수 있을 뿐더러 확대체의 구조까지 짐작해볼 수 있다.

갈로아군의 위수를 안다는 것 또안 어려울 떄가 있다. 그러나 걱정할 필요는 없다.

특정조건하에선 갈로아군의 위수(자기동형사상의 개수)는 동형사상의 개수와 같고 나아가 차수와도 같기 때문이다.

이것이 언제 같아지는지 살펴보아야 할 것이다. 그 특정조건은 바로 분해체, 분리확대체라는 것이다.

우선 이를 정의하기 위하여 체의 확장에 따른 동형사상의 확장에 대해서 살펴보고 분해체와 분리확대체를 정의하여보자.

1. 동형확장정리

갈로아군을 구성할 때 우리는 갈로아군을 다음과 같이 정의하였다.

<갈로아 군>

$F \le E$일 때

$G(E/F):=\{ \sigma |\sigma :E\longrightarrow E:$ 자기동형사상 $s.t.\, \sigma |_{ F }=id_{ F }\} \le Aut(E)$

(또는 $Gal_F E$)

위의 갈로아군과 같은 군을 구성할 때 자기동형사상대신 동형사상을 쓴다면 어떻게될지 생각하여 보자.

우선 자기동형사상일 필요가 없기 때문에 임의의 동형사상에 대하여 치역이 E자신일 필요는 없는것이다.

그리고 그 치역은 어찌되었건 대수적폐체의 부분체일 것이다, 이를 개수의 관점으로 정리하면 다음과 같다.

E: F의 유한확대체 일 때

$\{ E:F\} :=|\{ \tau |\tau :E\longrightarrow \tau (E)\; (\le \overline { F } ):$동형사상$s.t.\, \tau |_{ F }=id_{ F }\} | \ge 1$

동형사상의 개수에 대하여 다음성질도 성립한다. 증명은 생략한다.

K: F의 유한확대체, $F \le E \le K$일 때

$\{ K:F\} =\{ K:E\} \{ E:F\} $

2. 분해체

동형사상의 개수를 구성하면서 느꼈을지도 모르지만 동형사상이 자기동형사상이 될 수 있다면 동형사상의 집합은 갈로아군과 같아진다는 것은 충분히 직감이 가능하다. 이를 충족시켜주는 조건이 바로 분해체라는 조건이다.

본래 분해체를 아주 잠깐 맛보았던 부분이 있다. 특정한 다항식에 대하여 분해체를 정의해본적이 있을 것이다. 그 때 분해체는 주어진 다항식에 대하여 그 다항식이 일차식으로 인수분해가 가능하도록 확대한 체 라고 설명하였다. 분해체를 좀 더 엄밀하게 정의해보자.

우선 분해된다는 것이 무엇인지 정의해보자

상수 $\neq \, f(x) \in F[x]$에 대하여

$f(x)$; $K(\ge F)$위에서 분해된다. ⇔ $f(x)=c(x-\alpha _{ 1 })\cdots (x-\alpha _{ n })\quad (\exists c\in F,\; \exists \alpha _{ 1 },\cdots ,\alpha _{ n }\in K)$

분해체를 정의하자.

$K$ : $F$위의 $f(x)$의 분해체

$\Leftrightarrow \begin{cases} (1)\; F\le K \\ (2)\; f(x)=c(x-\alpha _{ 1 })\cdots (x-\alpha _{ n })\quad (c\in F)\quad 에\; 대하여\; K=F(\alpha _{ 1 }\cdots \alpha _{ n })\; \end{cases}$

$(=F\cup \{ \alpha \in \overline { F } |f(\alpha )=0\} 을\; 포함하는\; F의\; 최소의\; 부분체)$

분해체는 다항식이 주어졌을 때 정의된다.

다항식의 집합에 대하여도 정의할 수 있다.

K: F위의 S의 분해체

⇔ (1) $F \le K$

(2) K=F와 S에 있는 다항식에 있는 모든 해를 포함하는 F의 최소의 분해체

K: F위의 분해체

⇔ 위와 같은 S가 존재

이제 분해체의 조건에서 동형사상의 개수와 갈로아군의 위수가 같다는 것을 확인해두도록 하자.

E ; F의 분해체 일 때\

$\{ \sigma |\sigma :E\longrightarrow \sigma (E)\; (\le \overline { F } ):$동형사상$s.t.\, \sigma |_{ F }=id_{ F }\}$

⇒ $\sigma$ : E의 자기동형사상

그러므로

E : F의 유한확대체, 분해체 일 때

$\{ E:F\} =\left| G\left( E/F \right) \right| $

왜 자기동형사상이 되냐면 임의의 $\sigma (E)$의 원소에 대하여 동형사상의 성질과 고정됨의 성질을 이용하면 결국 그 원소가 E의 원소라는 것을 알 수 있기 때문이다.

3. 분리확대체

이번엔 동형사상의 개수가 차수와 같아질 조건에 대하여 생각해보자. 분리확대체가 그것이다.

그러면 분리라는 것은 무엇인가? 우선 분리가능을 정의하자.

$F \le E$일 때

$f(x) (\in F[x])$ : $F$위에서 분리가능 (다항식)

⇔ $f(x)=a(x- \alpha _1) \cdots (x- \alpha _n)$

($\exists a \in F, \, \exists \alpha _1 , \cdots , \alpha _n \, (\in \overline{F})$ : 서로 다르다.)

분리가능이라는 것은 서로 다른 일차식으로 인수분해 가능한 것을 의미한다. (근의 중복도-1)

그러면 이제 분리가능원소와 분리(가능)확대체를 정의하자.

$F \le E$일 때

(1) $\alpha =E$에 대하여 $\alpha$ : $F$위에서 분리가능 원소

⇔ ① $\alpha$ : $F$위에서 대수적

② $irr(\alpha , F)$ : $F$위에서 분리가능다항식

(2) $E$ : $F$의 분리가능확대체 (또는 $F$위에서 분리가능)

⇔ $\forall \alpha \in E , \; \alpha :$ $F$위에서 분리가능

⇔ [E:F]={E:F}

기약다항식은 대수적폐포 안에서 모든해의 중복도가 같아진다.

$f(x)$ : $F[x]$의 기약다항식 일 때

(1) $\overline{F}$안에서 $f(x)$의 모든해의 중복도는 같다.

(2) 그러므로 $f(x)=a(x-\alpha _{ 1 })^{ \nu }\cdots (x-\alpha _{ n })^{ \nu }\quad (\exists a \in F , \; \exists \nu \in Z^+ , \; \exists \alpha_1, \cdots \alpha _n \in \overline{F}: \; 서로다른\; 해)$의 꼴로 인수분해된다.

이 결과는 증명 없이 이용하도록 하자.

다음은 단순확대체의 동형사상의 개수가 기약다항식의 서로 다른 근의 개수와 같음을 보여준다.

$\alpha $: $F$위에서 대수적

⇒ $\{F(\alpha) : F\}$=$irr(\alpha , F)$의 $\overline{F}$에서의 서로 다른 근의 개수

[증명] 서로 다른근의 개수를 n이라 하고 한 근을 $\alpha$라고 하였을 때

가능한 확대체에서 확대체로의 동형사상은 $\psi _{ \alpha ,\alpha },\; \psi _{ \alpha ,\alpha ^{ 2 } },\; \cdots ,\; \psi _{ \alpha ,\alpha ^{ n } }$이므로 동형사상의 개수도 n개이다.

그리고 유한확대체에서 동형사상의 개수는 차수를 나눈다 (그러므로 동형사상의 개수가 더 적다) 라는 결과도 알아두어야 한다.

$E$: $F$의 유한확대체 일 때

(1) {E:F}|[E:F]

(2) {E:F} $\le$ [E:F]

특히 E: 분리확대체일 때는 {E:F}=[E:F]

[증명] $E$: $F$의 유한확대체라면 $E=F(\alpha _{ 1 },\cdots ,\alpha _{ k })$ 로 나타낼수 있다.

그러면 $\alpha _1$부터 $\alpha _k$까지 하나씩 단순확대하여 확대체를 구성하면

$F\le F(\alpha _{ 1 })\le (F(\alpha _{ 1 }))(\alpha _{ 2 })\le \cdots \le F(\alpha _{ 1 },\cdots \alpha _{ k })=E$

그러면 $[E:F]=deg(irr(\alpha _{ 1 },F))\cdot deg(irr(\alpha _{ 2 },F(\alpha _{ 1 })))\cdot \; \cdots \; \cdot deg(irr(\alpha _{ k },F(\alpha _{ 1 },\cdots ,\alpha _{ k-1 }))$

각 기약다항식 마다 $n_i$개의 해가 $\nu _i$번씩 중복된다고 생각하면

$[E:F]=\nu _{ 1 }n_{ 1 }\cdots \nu _{ k }n_{ k }=(\nu _{ 1 }\cdots \nu _{ k })(n_{ 1 }\cdots n_{ k })$

바로 위의 정리에서 알아보았듯이 해의 개수는 동형사상의 개수와 같으므로

$[E:F]=(\nu _{ 1 }\cdots \nu _{ k })(n_{ 1 }\cdots n_{ k })=(\nu _{ 1 }\cdots \nu _{ k })\{ E:F\} $

$F \le E \le K$에 대하여 각 차수가 유한한 확대체에 대하여 K가 F의 분리확대체이면 그 사이의 확대체는 모두 분리확대체라는 결과를 보도록하자.

$F \le E \le K$, $[K:E]< \infty$, $[E;F]< \infty$에 대하여

K: F의 분리확대체 ⇔ K: E의 분리확대체 E: F의 분리확대체

그 이유는 단순히 [K:F]={K:F}라는 사실을 이용하면 충분히 설명된다.

이제 다음 결과를 증명없이 받아들인 후 갈로아이론의 핵심으로 들어갈볼까한다.

(1) E: F의 유한확대체, Char(F)=0 ⇒ E: 분리가능

(2) E: F의 유한확대체, F: 유한체 ⇒ E: 분리가능

(3) E: F의 분리가능유한확대체 ⇒ E: F의 단순확대체

(4) E: F의 유한확대체, Char(F)=0 ⇒ E: F의 단순확대체 ((1), (3)을 이용하면 도출)

이로써 종합하면 E: F의 분해체, 분리확대체라면 다음이 성립하여 다음장에 쓰일것이다.

$|G(E/F)|=\{E:F\}=[E:F]$

16. 체의 자기동형사상과 갈로아군

Bitssam — Tue, 27 Oct 2015 17:37:07 +0900

이제 갈로아이론을 다루기위한 첫걸음이다. 체의 구조를 밝힌다는 것은 매우 어렵다. 하지만 군의 구조를 밝히는 것은 쉽다. 체의 구조를 군의 구조로 바꾸어서 쉽게 구조를 밝힐 수 있도록 하는 것이 바로 갈로아군이라는 개념이다. 갈로아군을 구성하기 위해서는 우선 기존의 체를 고정해놓고 확대체의 자기동형사상을 구성해야 한다. 우선 켤레라는 개념부터 시작하자.

1. 켤레

복소수를 배우던 중에 무엇을 켤레로 불렀는가? 허수부의 부호만 다른 두 수를 켤레라고 불렀었다. 사실 이 둘의 기약다항식이 같다는 것을 통찰했을 것이다.

이와 같이 켤레는 같은 기약다항식을 가질 때 서로 켤레라고 정의한다.

E ; F의 대수적확대체 , $\alpha$, $\beta \in E$일 때,
$\alpha$, $\beta$: F위에서 켤레
⇔ $irr(\alpha , F)=irr(\beta , F)$

이 켤레의 개념을 활용하여 새로운 동형사상을 하나 정의하도록 한다.

<켤레동형사상>
(1) $\alpha$, $\beta$ : $F$위에서 대수적
(2) $deg(\alpha , F) =n$
(3) $\begin{cases} \psi _{ \alpha ,\; \beta }:\, F(\alpha )\longrightarrow F(\beta ) \\ \psi _{ \alpha ,\; \beta }(C_{ 0 }+C_{ 1 }\alpha +\cdots +C_{ n-1 }\alpha ^{ n-1 })=(C_{ 0 }+C_{ 1 }\beta +\cdots +C_{ n-1 }\beta ^{ n-1 })\quad (C_{ i }\in F) \end{cases}$ 이라 정의 할 때,

$\psi _{ \alpha ,\; \beta }$ : 동형사상 ⇔ $\alpha$, $\beta$ : F위에서 켤레

2. 고정체

확대체의 구조를 자기동형사상을 통하여 규명하려면 확대하기 전 부분체의 원소를 고정할 필요가 있다. 우리는 확대체의 모든 자기동형사상에 대하여 고정되는 원소를 모은 고정체라는 개념을 살펴보도록한다.

우선 고정에 대하여 정의하도록한다.

$\sigma :E\longrightarrow E$ : 자기동형사상일 때
$a(\in E)$ : $\sigma$에 의해 고정된다 ⇔ $\sigma (a)=a$

어떤 자기동형사상 집합의 모든 원소에 대하여 부분체 F를 고정할 때 그 집합은 F를 고정한다 라고 한다.

$S \subset Aut(E) \; F \le E$에 대하여
$S$ : $F$를 고정한다. ⇔ $\sigma (a)=a$ ($\forall \sigma \in S$, $\forall a \in F$)

$\sigma \in Aut(E)$에 대하여
$\sigma$ : $F$를 고정한다. ⇔ $\{\sigma \}$ : $F$를 고정한다.

확대체의 어떤 자기동형사상 집합이 고정하는 원소를 모은 것을 고정체라고한다.

$F \le E$일 때, $H \subset Aut(E)$에 대하여
$E_{ H }:=\{ a\in E|\sigma (a)=a\; (\forall \sigma \in H)\} \le E$
이를 고정체라고 한다.

3. 갈로아군

갈로아군이란 확대체의 자기동형사상중에 확대하기전 부분체를 고정시켜주는 동형사상을 모은 군이다. 갈로아군을 구성해보자.

우선 체의 자기동형사상을 모으면 군이 된다는 사실을 받아들이자.

체 E에 대하여
<$G=Aut(E)$, $\cdot$> : 군

이제 갈로아군을 구성해보자.

<갈로아 군>
$F \le E$일 때
$G(E/F):=\{ \sigma |\sigma :E\longrightarrow E:$ 자기동형사상 $s.t.\, \sigma |_{ F }=id_{ F }\} \le Aut(E)$
(또는 $Gal_F E$)

갈로아군의 고정체는 F의 확대체이며 E의 부분체이다.

15. 유한 체

Bitssam — Mon, 26 Oct 2015 20:10:07 +0900

유한체의 구조를 밝혀보자. 유한체의 갈로아군의 구조를 규명하기 위하여 지금 하는 작업들을 충실히 해보도록하자.

여기서는 유한체에 대하여 $Z_p$나 $Q$ 둘 중 하나가 매장된다는 사실을 알게된다. 그리고 그것으로 이루어진 벡터공간이 유한체를 구성하는 것이었음을 알게된다. 그러고나서 유한체의 위수나 존재성과 유일성을 알게 된다. 우선 환의 표수부터 시작하여보자.

1. 환의 표수

환의 표수는 모든 환의 원소에 대하여 몇번을 더해야 0이 되는지 나타낸 수의 최솟값이다.

환 $R$에서

$Char(R):=\begin{cases} min\{ a\in Z^{ + }|na=0\; (\forall a\in R)\} \quad (\exists n\in Z^{ + }\, s.t.\, na=0) \\ 0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (\not \exists n\in Z^{ + }\, s.t.\, na=0) \end{cases}$

표수를 더 쉽게 생각할 수 있는 방법이 있다. 바로 1을 얼마나 더하면 되는지 아는 방법이다.

(1)$1 \in R$일 때

$Char(R):=\begin{cases} min\{ n\in Z^{ + }|n\cdot 1=0\} \quad (\exists n\in Z^{ + }\, s.t.\, n\cdot 1=0) \\ 0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (\not \exists n\in Z^{ + }\, s.t.\, n\cdot 1=0) \end{cases}$

(2)$R={0} \Leftrightarrow Char(R)=1$

정역에서는 표수가 0 또는 소수이다. 그리고 정역과 부분정역은 표수가 같다.

(1) $R:$ 정역 $\Rightarrow Char(R)=0\, or\, Char(R)=$소수

(2) $R$: 정역, $S$: $R$의 부분정역 $\Rightarrow Char(R)=Char(S)$

정역의 표수가 0 또는 소수인 이유는 영인자가 존재하지 않기 때문이다. (2)가 성립하는 이유는 부분정역의 단위원이 정역의 것이랑 같기 때문이다. 자세한 증명은 생략한다. 기본서에 다 있다.

2. 소체 (prime field)

소체는 $Z_p$, $Q$와 동형인 체이다. 이 체를 통하여 체를 얼마든지 구성할 수 있으므로 소체는 건물로 치면 벽돌과도 같은 것이다.

우선 이 절에선 소체가 임의의 체에 매장(embedding)된다는 것을 알게 된다. 우선 매장(embedding)됨을 확인하기 위하여 준동형사상을 정의할 필요가 있다.

$\phi :Z\longrightarrow R$(단위원을 가진 가환환) 에 대하여

$\phi (k)=k\cdot 1 \; (k\in Z)$

⇒$\phi$: 환준동형사상

우선 단위원을 가진 가환환에 대하여 생각해보자.

(1) $Char(R)=n(>1) \Rightarrow Z_n : \, R$에 매장된다.

(2) $Char(R)=0 \Rightarrow Z: \, R$에 매장된다.

(1)이 성립하는 이유부터 보면 방금 정의한 준동형사상의 Kernel은 1과 곱하여 0이 되는 수이다. 그러므로 $ker(\phi )=nZ$ 그리고 동형정리에 의하여 성립한다. (2)가 성립하는 이유를 보면 같은 방법으로 $ker(\phi )=\{0\}$이므로 동형정리에 의하여 성립한다.

단위원을 가진 가환환에 대한 결과를 가지고 체에 대하여 결과가 어떻게 될지 알 수 있다.

$R$: 체 $\Rightarrow$ $Z_p$ 혹은 $Q$가 R에 매장된다.

(이 때, $Z_p$, $Q$ : 소체(prime field)라 한다.)

체는 표수가 0 또는 p(소수) 이므로 각각 $Z$와 $Z_p$가 R에 매장된다. 하지만 $Z$의 분수체(포함하는 최소의 체)를 취하여 $Q$가 되어도 R에 매장된다.

3. 유한체의 여러가지 측면에서의 구조

유한체의 구조를 살펴보자. 임의의 유한체 $F$를 가져오자. ($|F|=k$ $(k \in Z)$

$F$는 체이므로 정역이다. 그러므로 표수는 p이다. (유한체이므로 0은 안된다.) 그러므로 소체부분에서 알수 있없던 사실대로 $Z_p$가 매장된다.

$[F:Z_p']=:n< \infty$이므로 $F=<\alpha _1 , \cdots , \alpha _n>_{Z_p'}$ 이고 $F$의 위수는 $p^n$이다.

먼저 유한체와 그 위수에 대해 알아보자.

$F \le E$에 대하여

$|F|=q,\; [E:F]=n$

$\Rightarrow \begin{cases} ①\; |E|=q^{ n } \\ ②\; [E:F]=\log _{ |F| }{ |E| } \end{cases}$

조건에 따르면 체의 원소가 q개, 확대체를 구성하는 기저의 개수가 n이므로 확대체의 원소의 개수는 $q^n$개이다.

유한체의 구조를 다른관점에서 살펴보자.

유한체 $F$에 대하여

(1) $F$: 유한체 ⇔ <$F^*=F \setminus \{0\}, \, \cdot$> : 순환군

(2) $E$: 유한체 F의 유한확대체 ⇒ $E$: $F$의 단순확대체

(1)은 유한생성가환군의 구조를 통해 알 수 있는 내용이다. (2) $|E|$가 유한이므로 $E^*$는 곱셈에 대한 순환군이다. 그러므로 생성원 하나로 생성되므로 E는 F의 단순확대체라고 할 수 있다.

또 다른 관점에서 구조를 살펴보자.

$f(x)=x^{ p^{ n } }-x$라는 다항식에 대하여 분해체를 정의해보자. 분해체는 갈로아이론에서 잘 다룰것이지만 미리 다뤄보자.

$E\le \overline { Z_{ p } } ,\; |E|=p^{ n }\; (n\in Z^{ + })$일 때

$f(x)=x^{ p^{ n } }-x\; (\in Z_{ p }[x])$

⇒$E=\{ \alpha \in \overline { Z_{ p } } |f(\alpha )=0\} $ (즉 $E$: $Z_p$위의 $f(x)$의 분해체)

분해체는 주어진 다항식을 일차식의 곱으로 인수분해할 수 있도록 하는 최소의 체이다. 유한체의 구조는 $f(x)=x^{ p^{ n } }-x$의 $Z_p$위에서의 분해체라는 것이다.

[증명] $E^*$는 곱셈에 대한 순환군이고 order의 정의에 의해 임의의 E의 원소에 대하여 $f(x)$의 해가 된다 그러므로 E는 분해체에 속한다.

한편 유한확대체의 위수와 $f(x)$의 degree를 생각해보면 $p^{ n }=|E|\le |\{ \alpha \in \overline { Z_{ p } } |f(\alpha )=0\} |\le p^{ n }$이므로

E는 분해체가 된다.

이번엔 임의의 체에 대하여 Char(F)=p (소수)면 분해체의 위수가 $p^n$이 됨을 보이자.

F: 체 , Char(F)=p (소수)

⇒ $f(x)=x^{ p^{ n } }-x$ $(\in Z_{ p }[x])$에 대하여

$|\{ \alpha \in \overline { F } |f(\alpha )=0\} |=p^n$

모든 해에 대하여 중복도가 1임을 보이면된다. 방법은 한 해 $\alpha$에 대하여 $x- \alpha$를 나눈후 $\alpha$를 대입해서 0이되지 않으면 된다.

4. 유한체의 존재성과 유일성

다음 명제로부터 시작하자.

$k \in Z^+$에 대하여

$\exists E$: 유한체 s.t. $|E|=k$ $\Leftrightarrow$ $k=p^n$ ($\exists p$: 소수, $\exists n \ge 1$)

오른쪽방향은 이미 증명한것이나 다름없다. 왼쪽방향을 증명하자. 존제성과 유일성을 둘다 증명해보자.

먼저 유한체의 존재성을 보이도록하자.

[증명] $f(x)=x^{ p^{ n } }-x$ $(\in Z_{ p }[x])$에 대하여 $K:=\{ \alpha \in \overline { Z_{ p } } |f(\alpha )=0\} $이라 구성하고 K가 체임을 보이면 된다. 이 과정에서 신입생의 지수법칙이 이용된다.

유한체의 유일성을 보이도록하자.

[증명] 유한체를 $Z_p$를 확장한것으로 본다면 유한체의 유한확대체이므로 단순확대체가 된다. 유한확대체는 대수적확대체이므로 단순확대한원소에 대해 해로 갖는 기약다항식이 존재한다. 기약다항식으로 span되는 아이디얼을 이용하여 상환을 구하면 체가 되고 이것이 유한체와 동형이다. 같은 방법으로 같은 위수를 가진 유한체는 같은 구조를 지닌 동형이라는 것이다.

이제 다음 포스팅을 통하여 갈로아이론에 진입해보려한다.

14. 대수적확대체와 대수적폐체

Bitssam — Sat, 24 Oct 2015 17:56:03 +0900

사실상 대수학의 목표는 방정식을 풀수 있는가라는 주제에 집중되어 있다. 그만큼 다항식의 해가되는 원소를 모으는 것은 대단히 중요하다. 그것과 관련된 개념이 대수적확대체이다. 우리는 주로 유한차수 다항식에 대한 해를 탐구하기 때문에 유한확대체를 잘 다루는것 또한 중요하다. 그리고 대수적이라는 속성에 대하여 닫혀있는 구조를 많이 가져오게 된다. 그것을 대수적 폐포라고 한다. 우리는 대수적확대체와 유한확대체가 무엇인지, 성질에는 무엇이있는지에 대하여 알아보고 대수적 폐포의 개념을 도출해낼것이다.

1. 대수적확대체와 유한확대체

대수적확대체는 확대체 중에서 대수적인 원소로만 이루어져 있는 제한조건이 있는 확대체이다.

$E$ : $F$의 대수적 확대체

⇔ (i) $F \le E$

(ii) $\forall \alpha \in E, \, \alpha : \, F$위에서 대수적

어떤 확대체가 대수적확대체이려면 모든 원소에 대하여 그 원소를 해로 갖는 다항식이 반드시 존재해야 한다.

유한확대체는 차수(기저의 차원)가 유한한 확대체이다.

$E$: $F$의 유한확대체

⇔ (i) $F \le E$

(ii) $[E :F] < \infty$

그러면 차수에 관한 정리들을 살펴보도록하자.

(1) $F \le E$일 때

$E=F \Leftrightarrow [E:F]=1$

(2) $F \le E \le K , \, [K:E]< \infty , \, [E:F] < \infty$

$\Rightarrow$① $K$: $F$의 유한확대체

②$[K:F]=[K:E][E:F]$

우선 (1)을 살펴보면 차수가 같다면 F에서 E의 차원이 1이라는 것이고 기저는 {1}뿐일 것이다. 1로 span된다면 그 체는 F 자신이 된다는 뜻이다.

(2)를 살펴보면 E에서 K의 기저가 유한개이고 F에서 E의 기저가 유한개이므로 F에서 K의 기저는 이들의 결합이므로 유한하다. 그러므로 K는 F의 유한확대체이다.

같은 연유로 인하여 두번째도 성립한다. 구체적인 증명은 임의의 원소에 대하여 일차결합을 구성하는 방법을 사용한다.

$F \le E$ , $\alpha \, (\in E)$ : F위에서 대수적, $\beta \in F(\alpha )$일 때

(1) $F \le F(\beta ) \le F(\alpha )$

(2) $deg(\beta , F)|deg(\alpha , F)$

(1)부터 살펴보면 $F(\beta )$는 $\beta$를 가진 최소의 체이고 $F(\alpha) $는 $\beta$를 가진 하나의 체이기 때문이다.

(2)를 살펴보면 $\alpha$는 대수적 원소이기 때문에 이를 근으로하는 다항식을 가진다. 그러면 확대체의 차원은 다항식의 차수와 같다. 그러므로 유한하다.

그러면 앞에서 살펴본 정리에 의하여 $deg(\alpha ,F)=[F(\alpha ):F]=[F(\alpha ):F(\beta )][F(\beta ):F]=[F(\alpha ):F(\beta )]deg(\beta ,F)$이다.

이제 대수적확대체와 유한확대체의 관계를 알아보도록 하자.

유한 확대체가 대수적확대체인 이유는 차원이 n인 유한확대체의 어떤 한 원소에 a에 대하여 a의 멱을 생각하여 $1, \cdots , a^n$의 일차결합은 0이다 (일차종속이므로) 그러므로 a를 해로갖는 기약다항식이 얼마든지 존재한다. 그러므로 a는 대수적원소이고 확대체는 대수적확대체이다.

역이 성립하기 위해선 조건이 하나 필요한데 유한개의 원소로 인하여 확장되었을 때, 대수적확대체는 유한확대체이다. $F\le F(\alpha _{ 1 })\le (F(\alpha _{ 1 }))(\alpha _{ 2 })=F(\alpha _{ 1 },\, \alpha _{ 2 })$와 같은 방식으로 확장하면

$[F(\alpha _{ 1 },\alpha _{ 2 }):F]=deg(\alpha _{ 1 },\, F)deg(\alpha _{ 2 },\, F(\alpha _{ 1 }))\le deg(\alpha _{ 1 },\, F)deg(\alpha _{ 2 },\, F)<\infty $ ($\alpha _i$는 대수적이기 때문에 유한차원)이므로 유한확대체이다.

2. 대수적폐체와 대수적폐포

대수적폐체란 모든 방정식을 구성하였을 때 해가 모두 그 체안에 들어와 있는 체를 뜻한다.

이것은 어떤 방정식을 가져오던간에 일차식의 곱으로 인수분해된다는 것과 같다.

F:체에 대하여 F: 대수적폐체

⇔ $\forall f(x) \in F[x], \, \exists \alpha \in F \, s.t. \, f(\alpha )=0$

⇔ $\forall f(x)\in F[x]$, $f(x)$는 일차식의 곱으로 인수분해 가능

대수적으로 닫혀있다는 뜻은 대수적인 원소를 모두 가지고 있다는 뜻이다.

임의의 체 $F$에 대하여 대수적으로 닫혀있도록 최소의 확대체를 정의할 수 있을것이다. 이것을 대수적 폐포라 한다.

일단 대수적으로 닫혀있으려면 모든 방정식의 해를 가지고 있어야 하므로 확대체는 대수적폐체가 되어야 한다.

그리고 이것이 최소의 대수적페체가 되려면 초월적원소는 제외되어도 대수적페체성을 손상시키지 않으므로 모든 초월적 원소는 없이 모든 원소가 대수적이면 최소의 대수적 폐체가 될것이다. 그러므로 확대체는 대수적확대체도 되어야 한다.

$F$ :체에 대하여 $K=\overline { F }$ ($F$의 대수적 폐포)

⇔ (i) $K$: 대수적 폐체

(ii) $K: \, F$의 대수적확대체

⇔ $K=F$를 포함하는 최소의 대수적 폐체

즉, 대수적 폐포는 대수적확대체와 대수적폐체를 동시에 만족하는 교집합이며

대수적 확대체에서 대수적인 원소를 추가해주어 대수적닫힘성을 만족시킨 집합이며

대수적 폐체에서 초월적 원소를 제거해주어 최소성을 만족시킨 집합으로 생각할 수 있다.

F의 확대체 E 내에서 대수적인 원소를 최대한 끌어모은 집합을 E안의 F의 대수적 폐포라 한다.

$\overline { F_{ E } } =\{ \alpha \in E | \alpha $ : F위에서 대수적 $\}$

이는 자체가 대수적 폐체는 아니다 다만 E의 부분체가 된다.

부분체 증명은 임의의 두 원소를 가져다가 두 원소로 확대한 확대체를 구성하여 닫혀있음, 항등원, 역원을 증명하면 된다.

다음 정리는 대수적폐체를 대수적확대체로 확장해봐야 자기자신이라는 것이다. 대수적폐포의 정의와 잘 비교하자. 분명히 다른점이 있다.

F: 대수적 폐체 일 때
E: F의 대수적 확대체 ⇒ E=F

대수적 폐체의 모든 원소가 대수적이도록 확장했다면 그 확대체의 원소에 대하여 그 원소가 대수적이므로 그를 해로 갖는 다항식이 F[x]에 존재하고 F는 대수적 폐체이므로 그 원소는 어차피 F의 원소이다.

대수적폐포의 정의와 무엇이 다르냐면 대수적 폐포를 구성할 때는 어떤 한 체를 대수적폐체임과 동시에 대수적확대체가 되도록 확장시킨것이다. 그러나 이 정리는 전제로 대수적 폐체인것을 내포하고 대수적확대체가 되도록 확장시키려는 것이기 때문에 전제가 약간 다르다.

13. 확대체

Bitssam — Sat, 24 Oct 2015 12:04:23 +0900

체의 다항식환에서 해가 존재하지 않는 기약다항식들이 있다. 에를 들어 유리수체의 다항식환 $\mathbb{Q} [x]$에서 $x^2 -2$와 같은 기약다항식은 본래 실수체 안에서는 $\sqrt{2}$라는 해를 가지고 있지만 유리수체에선 가지고 있지 않다. 그렇다면 그 해를 포함하도록 유리수체를 확장시켜줄 수는 없는 것일까? 이러한 관점에서 확대체라는 개념을 가지고 오자.

1. 확대체와 크로네커 정리

확대체란 기존의 체를 확장한 것으로서 쉽게 말하면 더 큰 체를 확대체라고 한다.

체 $E$, $F$에 대하여

$E$: $F$의 확대체 $\Leftrightarrow$ $F \le E$

체의 다항식환은 주아이디얼정역이므로 어떠한 기약다항식이 주어졌을 때 그 기약다항식으로 생성되는 아이디얼은 주아이디얼이다.

그리고 기약원으로 생성되는 주아이디얼을 극대아이디얼이라고 정리하였다. 그러므로 기약다항식으로 생성되는 아이디얼로 나누어준 상환은 체가 된다.

체의 다항식환 $F[x]$와 $F$에서 기약인 기약다항식 $p(x)$에 대하여 $I=<p(x)>$는 극대아이디얼이므로 $E=F[x]/I$는 체가 된다.

그런데 영원이 아닌 $E$의 원소 $\alpha =x+I$에 대하여 $p( \alpha ) = p(x)+I =I$가 되므로 $E$는 $p(x)$의 해를 가지게 된다.

한편 단사준동형사상 $\phi : F \Longrightarrow F[x]/I$에 대하여 $\phi (a) = a+I$라고 하면 $\phi$에 의해 $a \longmapsto a+I$이므로

$F$는 $F[x]/I$에 매장된다. 그러나 $F$나 $\phi (F)$나 구조상 동형이므로 같은 것으로 취급하면 $F[x]/I$는 F의 확대체가 된다.

그러므로 종합하면 체의 다항식환 $F[x]$와 $F$에서 기약인 기약다항식 $p(x)$에 대하여 $F[x]/<p(x)>$는 $p(x)$의 해를 가지는 $F$의 확대체가 된다.

이를 크로네커 정리라고 한다.

<크로네커 정리>

체 $F$에 대하여

(1) $p(x)$: $F$의 기약다항식 $\Rightarrow$ $F[x]/<p(x)>$ : $p(x)$의 해를 갖는 $F$의 확대체

(2) 상수 $\ne f(x) \in F[x]$ $\Rightarrow$ $\exists E$: $f(x)$의 해를 갖는 $F$의 확대체

2. 대수적, 초월적

그런데 체에서는 다항식의 해로 나타나는 수도 있고 그렇지 못한 수도 있다.

예를 들어서 유리수체에서 $\sqrt{2}$는 다항식 $x^2-2$의 해로 나타나지만 $\pi$, $e$와 같은 수는 다항식의 해로 나타낼 수 없다.

전자와 같은 수를 $\mathbb{Q}$에서 대수적이라고 하고 후자와 같은 수를 $\mathbb{Q}$에서 초월적이라고 한다.

이를 정리하면 다음과 같다.

$F \le E$, $\alpha \in E$에 대하여

(1) $\alpha$: $F$위에서 대수적

$\Leftrightarrow$ $\exists f(x) \in F[x] \, s.t. \, f(\alpha )=0, f(x) \not \equiv 0$

$\Leftrightarrow$ $\exists f(x) \in F[x] \, s.t. \, f(\alpha )=0, deg(f(x)) \ge 1 $

(2) $\alpha$: $F$위에서 초월적

$\Leftrightarrow$ $\alpha$: $F$에서 대수적이지 않다.

$\Leftrightarrow$ $f(x) \in F[x]$에 대하여 $f(\alpha )=0 \Rightarrow f(x) \equiv 0$

특히 유리수체에서 대수적인 원소를 대수적 수 라고 하고 초월적인 원소를 초월적 수라고 한다.

3. 기약다항식(최소다항식)

$\mathbb{Q}$위에서 대수적인 원소 $\sqrt{2}$를 생각해보자. 이를 해를 가지는 방정식은 많다.

우리의 관심은 대수적인 원소$\sqrt{2}$를 포함하는 최소의 체를 구성해보는 것이다. 그러기 위해서 좀 전에 언급하였던 크로네커 정리를 생각해보면

다음을 만족하는 $\mathbb{Q} [x]$내의 아이디얼이 필요하다.

(1) 체를 구성하도록 극대아이디얼 일것. => (PID에서)기약원

(2) 구성한 체가 $\sqrt{2}$를 포함하도록 생성원은 $\sqrt{2}$를 해로가지는 방정식일 것이다.

이를 만족하는 다항식을 일반화해보면 다음과같은 성질을 지니게 된다.

$\alpha$ : $F$위에서 대수적일 때

$\exists ! p(x) \, s.t.$ (i)~(iv)

(i) $p(x) \in F[x]$

(ii) $p(\alpha )=0$

(iii) $p(x)$의 최고차계수 =1 (모닉다항식이다.)

(iv) $p(x)$ : $F$위에서 기약

이때, $p(x) =: irr(\alpha , F)$ ($\alpha$의 $F$위의 기약다항식[최소다항식])

$deg (\alpha , F) := deg(irr(\alpha , F))$ 이라 한다.

이제 대입준동형사상을 생각해보자.

$F \le E$, $\alpha \in E$에 대하여 $\phi _{ \alpha }:F[x]\longrightarrow E\; ,\; \phi _{ \alpha }(f(x))=f(\alpha )$ : 준동형사상 이라 하자.

우리는 지금부터 $ker(\phi )$를 생각해볼 것이다.

$\alpha$가 대수적이라면 대수적원소의 정의에 의하여 $ker(\phi _{\alpha })=irr(\alpha , F)$이다. (영공간은 해를 가지는 기약다항식으로부터 span될것 이므로)

$\alpha$가 초월적이라면 초월적원소의 정의에 의하여 $ker(\phi _{\alpha })={0}$이다. (초월적인 원소를 대입해서 0이 나오는 함수는 0이다.)

더물어 $\alpha$가 초월적이면 영공간이 ${0}$이므로 대입준동형사상은 단사준동형이 된다. (이는 역도 성립하여 단사가 된다면 초월적원소이다)

만약 대수적 원소$\alpha$에 대하여 $f(\alpha )=0$ 이라면 $f(x) \in ker(\phi _{\alpha })=<p(x)>$ 이므로 $p(x)|f(x)$이다.

그러므로 $deg(f(x))$는 $deg(p(x))$보다 크거나 같다.

4. 단순확대체

이제 임의의 원소 $\alpha$를 가지는 확대체를 구성하자. 체 $F$가 $\alpha$를 포함하도록 확대되려면

$F$의 원소와 $\alpha$자신과 그 멱들의 일차결합이 전부 포함되어야 한다.

그러한 확대체를 $F(\alpha ):=\left\{ c_{ 0 }+c_{ 1 }\alpha +c_{ 2 }\alpha ^{ 2 }+c_{ 3 }\alpha ^{ 3 }+\cdots |c_i \in F \right\} $라 정의하자.

참고로 $F$위에서의 대수적원소 $\alpha $에 대하여 $F[\alpha ]=F(\alpha )$이다.

그 이유는 대입준동형사상 $\phi _{ \alpha }:F[x]\longrightarrow F[\alpha ]\; ,\; \phi _{ \alpha }(f(x))=f(\alpha )$에 대하여

$F[x]/ker(\phi _{ a })\cong \phi _{ a }(F[x])=F[\alpha ]$ 이므로 ker이 기약다항식이 되므로 $F[\alpha ]$는 체이다.

$F(\alpha )$는 $\alpha$를 포함하는 최소의 체이므로 $F(\alpha )\subset F[\alpha ]$ 한편 $F[\alpha ]$는 $F$의 원소와 $\alpha$자신과 그 멱들의 일차결합이므로 $F[\alpha ]\subset F(\alpha )$ 이기 때문이다.

비슷한 방식으로 초월적 원소에 대하여는 $F[\alpha ]\cong F[x]$이다. 정역이다. 즉 초월적원소의 확대체는 이런 방식으로 만들 수 없다. 하지만 여기에서 $F[\alpha]$의 분수체를 생각하면 그것을 $F(\alpha )$라고 한다.

이제 단순확대체를 정의하자. 단순확대체는 원소하나를 넣어서 만든 최소의 체를 뜻한다.

$F \le E$에 대하여

$E$ : $F$의 단순확대체 $\Leftrightarrow$ $\exists \alpha \in E \, s.t. \, E=F(\alpha)$

이러한 단순확대체를 선형대수적으로 생각해보자.

대수적인 원소 $\alpha$가 있다고 하자. 그리고 $deg(\alpha , F)=n< \infty$ (기약다항식의 차수가 유한) 이라 하자.

$\alpha$를 해로 가지는 기약다항식이 존재하므로 $\alpha $에 n차 이상의 멱을 취하면 그것은 n차 이하의 멱의 일차결합으로 표시된다.

그러므로 $\mathscr{B} =\{ 1,\alpha ,\alpha ^{ 2 },\cdots ,\alpha ^{ n-1 }\}$는 $F$위에서 $F(\alpha )$를 span한다.

$\mathscr{B}$의 원소의 일차결합을 0라 한다면 deg가 n-1이고 이는 기약다항식이 n차라는 것에 모순되므로 각 일차결합의 계수가 0이 되어 일차독립이다.

즉, $\mathscr{B}$ $=\{ 1,\alpha ,\alpha ^{ 2 },\cdots ,\alpha ^{ n-1 }\} $ 은 $F$위에서 $F(\alpha )$의 기저이다.

이제 기저가 정해졌으니 차원도 정해줄 수 있다. 벡터공간의 차원을 $dim_{ F }F(\alpha )=:[F(a):F]$이라하고 이를 차수라고 한다.

$F\le K$, $\alpha (\in K)$: F위에서 대수적, $deg(\alpha , F)=n$일 때,

(1) $\mathscr{B}$ $=\{ 1,\alpha ,\alpha ^{ 2 },\cdots ,\alpha ^{ n-1 }\}$ : $F$위의 $F(\alpha)$의 기저

(2) $[F(a):F]=dim_{ F }F(\alpha )=n=deg(\alpha ,F)=deg(irr(\alpha ,F))$

12. 여러가지 정역들

Bitssam — Fri, 23 Oct 2015 00:34:33 +0900

정역은 영어로 integral domain이다. integral number는 '정수'라는 것을 의미하므로 정역은 정수의 특성을 가져와 일반화한것이라 볼 수 있다.

정수환에서 곱셈에 대한 가환이 성립하고 단위원 1을 가지고 있으며 영인자가 존재하지 않으므로 정역도 이러한 특성을 지니고 있다.

$R$: 정역

⇔ (i) $R$: 가환환

(ii) $1 \in R$

(iii) $\nexists $영인자

이외에도 정수는 많은 특징들을 가지고 있는데

1. 유일하게 인수분해된다.

2. 모든 아이디얼이 각기 한 개의 원소로 생성된다.(주아이디얼이다.)

3. 호제법이 가능하다.

이러한 특징들을 일반화한 정역이 있다. 그것이 바로 UFD(유일인수분해정역), PID(주아이디얼정역), ED(유클리드정역) 이다.

표로 그 특징을 나열하면 다음과 같다.

특징	정역	유일인수분해정역	주아이디얼정역	유클리드정역
가환환, 단위원존재, 영인자 없다.
유일하게 인수분해된다.
모든아이디얼이 주아이디얼이다.
호제법이 가능하다.

1. 유일인수분해정역 (Unique Factorization Domain ;UFD)

UFD는 모든 원소가 유일한 인수분해를 가지고 있는 정역이다. 이를 수학적으로 나타내면 다음과 같다.

D:UFD

⇔ (i) D : 정역

(ii) 0도 아니고 단원도 아닌 $a \in D$에 대하여

㉠ $a=p_1\cdots p_r $ ($\exists p_{ 1 },\cdots ,p_{ r }$: 기약원^[각주:1]) (인수분해의 존재성)

㉡ $a=p_{ 1 }\cdots p_{ r }=q_{ 1 }\cdots q_{ s }$ ($p_i,q_i$; 기약원)

⇒ $r=s, \quad p_i$와 $q_i$는 동반원^[각주:2]인 1-1대응관계가 있다. (인수분해의 유일성)

잠시 UFD와 관련하여 다른이야기를 하면 정역에서 소원과 기약원의 정의가 미묘하게 다르다. 또한 실제로도 다른 개념이다.

p: D의 소원

⇔ (i) $p \ne 0$

(ii) $p \ne$ 단원

(iii) $p|ab \Rightarrow p|a \, or \, p|b$

p: D의 기약원

⇔ (i) $p \ne 0$

(ii) $p \ne$ 단원

(iii) $p=ab \Rightarrow$ $a$:단원 or $b$:단원

정역에서 소원은 기약원이다. 그렇지만 그 역이 성립하려면 D:UFD이어야만 한다. 증명은 어렵지 않다.

UFD와 다항식환간의 관계에 관한 정리가 존재한다. 결과를 알아두자

D : UFD이면 D[x]: UFD이다.

(PID->PID ED->ED이런거 다 안되고 UFD만 된다.)

F: 체이면 $F[x_1, \cdots , x_n]$ : UFD이다.

(체이면 다항식환이 UFD고 거기에 계속 변수를 하나하나씩 붙여도 똑같이 UFD)

2. 주아이디얼정역 (Principal Ideal Domain ;PID)

PID는 모든 아이디얼이 주아이디얼인 정역이다. 이를 수학적으로 나타내면 다음과 같다.

D:PID

⇔ (i) D : 정역

(ii) $I \triangleleft D \Rightarrow$ I: D의 주아이디얼

PID에선 기약원으로 생성된 주아이디얼은 극대아이디얼이다.

D:PID 이고 $p \ne 0$일 때

$$: 극대아이디얼 ⇔ p : 기약원

[증명] (극대아⇒기약원) $p \ne 0$인것은 가정에 의하여 성립하고 p가 단원이면 이로부터 생성된 아이디얼은 D가 되므로 p는 단원도 아니다.

p=ab라 하면 $ \subset <a>$인데 의 극대성에 의하여 <a>는 가 되거나 D가 된다. 그러므로 a:단원 또는 b:단원

(기약원⇒극대아) $ \subset I \triangleleft D$라 가정하면 D:PID이므로 I를 생성하는 a가 I에 존재한다. 그러면 $ \subset <a>$이므로 p=ab이다. ($\exists b \in D$)

p의 기약성에 의하여 a 또는 b가 단원이다. 그러므로 I= 이거나 I=D

우선 PID가 UFD라는 사실을 증명하기 위하여 몇가지 정리를 참고하자.

[정리] 가환환 R에서

(1) $N_i \triangleleft R \;(\forall i=1,2,\cdots )$

(2) $N_{ 1} \subset N_2 \subset \cdots \subset N_i \subset N_{i+1} \subset \cdots \;( \subset R) $

(이 때, ${ \{ N_{ i }\} }_{ i=1 }^{ \infty }$ : R의 아이디얼의 오름사슬)

$\Longrightarrow N:=\bigcup _{ i=1 }^{ \infty }{ N_{ i } } \triangleleft R$

(아이디얼이 양파껍질처럼 겹겹이 씌워지는 모양이다. 당연히 그 합집합도 아이디얼이다.)

[정리] D: PID일 때 ${ \{ N_{ i }\} }_{ i=1 }^{ \infty }$ : D의 아이디얼의 오름사슬

$\Longrightarrow \exists r\in Z^{ + }\, s.t.\, N_{ r }=N_{ r+1 }=\cdots $

(즉 PID에서 아이디얼의 오름사슬은 길이가 유한하다. 오름사슬의 합집합을 생성하는 생성원을 $N_r$에 있다고 하면 r항이후로 어차피 아이디얼들은 같아지게 되어 오름사슬의 길이는 유한해진다.)

[정리] PID에서 기약원은 소원이다.

(p|ab이면 ab는 에 속한다. 그리고 앞에 있던 정리에 의해 는 극대아이디얼이고 또한 소아이디얼이다. 그러면 소아이디얼의 정리에 의하여 a,b둘중하나가 아이디얼의 원소이므로 둘중하나가 p의 배수이다)

이제 PID가 UFD라는 것을 증명하자.

D:PID 이면 D:UFD 이다.

(존재성증명) D의 임의의 원소에 대하여 기약원의 존재를 확인한다. 계속 쪼개고 쪼개다 보면 그 과정이 유한하다는것을 이용한다. (사슬이용) 그러고난 후에 인수분해를 기약원의 존재성을 이용하여 계속 반복한다. 그렇지만 이 과정도 유한하다는 것을 이용한다. (사슬이용) 결국 인수분해가 존재하게 된다.

(유일성증명) 각기 다른 기약원들로 인수분해되었다고 가정한 후에 그 기약원들의 숫자가 서로 같으며 서로 단원을 곱한 관계라는 것을 증명해낸다.

3. 유클리드정역 (Euclidean Domain ;ED)

유클리드 정역은 호제법이 가능한 정역으로서 유클리드 부치(노름)라는 구조를 지니고 있다.

D: ED

⇔ (i) D : 정역

(ii) $\exists \nu :D\setminus \{ 0\} \longrightarrow Z_{ 0 }^{ + } \, s.t \, $

㉠ $a \in D$, $b \in D \setminus {0}$ 일 때

$\exists q,r \in D \, s.t. \, a=bq+0, \, r=0 \, or \, \nu (r) < \nu (b) $

㉡ $a,b \in D \setminus {0}$ 일 때, $\nu (ab) \ge \nu(a)$

(이 때, $\nu$ : D의 유클리드 부치(노름))

예를 들어 정수의 유클리드 부치는 절댓값이다. 다항식환의 유클리드 부치는 deg이다.

유클리드 노름의 성질은 다음과 같다.

(1) $\nu (1) \le \nu (a)$ ($\forall a \in D \setminus {0}$)

(2) u: D의 단원 ⇔ $\nu (u) = \nu (1)$

[증명] (1)번은 a=a $\cdot$ 1로 해결하면 된다.

(2)번은 1=$u \cdot u^{-1}$을 이용하고 역은 호제법을 이용한다.

이제 정역끼리의 관계들을 마저 정리해주자.

D: 체 ⇒ D: ED ⇒ D:PID ⇒ D:UFD ⇒ D:정역

빨간 화살표 빼고는 전부 다 증명했던 사실이다. 그럼 이 두 명제를 증명함으로서 논의를 끝내도록 하자.

[증명]

(체 ⇒ ED) 체 D에 대하여 유클리드 부치를 상수하나를 잡는다. 그리고 체는 역원이 존재하므로 무조건 나머지가 존재하지 않으므로 ㄱ은 성립한다.

ㄴ은 유클리드 부치가 상수이므로 당연히 성립한다.

(ED ⇒ PID) F[x]가 PID라는 것을 증명하는 것과 과정은 같다. 요약하자면 I={0}인경우 자명하니 건너뛰고 {0}이 아닌경우엔 자연수의 정렬성의 원리에 의하여 유클리드 부치의 최솟값이 나타난다. 유클리드 부치가 가장 작은 원소를 b 라고 하고 =I를 증명하자 $\subset$ I인것은 b가 I의 원소이므로 자명하다. 임의의 I의 원소 a에 대하여 나눗셈이 존재하여 몫과 나머지가 나타나고 r=0이 되거나 유클리드 부치조건을 만족한다. 그러나 r=0이 아니라면 r=a-bg는 I의 원소이므로 r의 유클리드 부치가 b보다 크게되면서 유클리드부치 조건에 모순이다 그러므로 r=0이고 a=bg이므로 I $\subset$ 이므로 I= 즉 D:PID

4. 가우스 정수와 곱셈적노름

가우스 정수환이라는 정역을 소개하고자 한다.

$i=\sqrt { -1 } $에 대하여

(1) $Z[i]:=\left\{ f(i)|f(x)\in Z[x] \right\} \\ \quad \quad =\{ a+bi|a,b\in Z\} \subset \mathbb{C}$ (가우스 정수환)

(2) $N:Z[i]\longrightarrow Z_0^+$ 에 대하여

$N(a+bi)=a^2+b^2 \\ \quad \quad \quad \quad =|a+bi|^2$ ($a+bi \in Z[i]$] (N: 가우스노름)

가우스 정수환은 가우스노름이 유클리드노름이므로 유클리드정역(ED)이다.

그런데 가우스노름은 유클리드노름임과 동시에 곱셈적노름이다.

우선 가우스 노름의 특징을 살펴보면

$\alpha ,\beta \in Z[x]$에 대하여
(1) $N(\alpha) \ge 0$
(2) $N(\alpha)=0 \Leftrightarrow \alpha =0$
(3) $N(\alpha \beta)=N(\alpha) N(\beta)$

특히 (2), (3)은 곱셈적노름의 정의이다.

곱셈적 노름의 성질은 다음과 같다.

D: 정역, N: D의 곱셈적노름일 때
(1) ① $N(1)=1$
② $u$: D의 단원 $\Rightarrow$ $|N(u)|=1$ (역은 유클리드 노름에서 성립)
(2) ②의 역이 성립할 때, $|N(\beta)|=p$ (소수) $\Rightarrow$ $\beta$: D의 기약원
(3) $\alpha , \beta$: 동반원 $\Rightarrow$ $|N(\alpha)|=|N(\beta)|$

이로서 정역에 대한 논의를 마치고자 한다.

p: D의 기약원 ⇔(i) $p ≠ 0$ (ii) $p ≠$ 단원 (iii) $p=ab ⇒ $ a:단원 또는 b:단원 [본문으로]
a,b가 동반원관계라는 것은 한쪽이 다른쪽에 단원을 곱한것과 같다는 것이다. a,b 는 서로를 나누게되어있으며 생성하는 환이 같다. [본문으로]

11. 아이디얼

Bitssam — Thu, 22 Oct 2015 18:59:00 +0900

1. 아이디얼

아이디얼이란 군론의 정규부분군과 마찬가지로 상환을 구성하는데 필요한 환이다.

우선 상환에서의 곱셈연산이 잘 정의되기 위하여 좌아이디얼성과 우아이디얼성을 모두 만족해야 하므로 우리는 아이디얼을 한번에 정의하겠다.

환 R에 대하여 $\phi \ne I \subset R$ 일 때

$I \triangleleft R$

⇔(i)$I \le R$

(ii)$Ir \subset I,rI \subset I$

⇔$\forall a,b \in I$ $\forall r \in R$ 에 대하여

(i) $a-b \in I$

(ii) $ar \in I$ $ra \in I$

첫번째 정의는 아이디얼에 대해 설명해주고 있고

두번째 정의는 덧셈에 대한 1-step판정법과 곱셈에 대한 닫혀있음(정규성때문에 따질필요가 없음), 아이디얼성을 아울러 풀어놓은 것이라고 할 수 있다.

이제 아이디얼로 잘라준 잉여환을 정의하면 $R/I = \{ r + I|r \in R\} $라고 할 수 있다.

여기서도 군과 마찬가지로 simple을 정의해 줄 수 있다. Simple이란 아이디얼이 제자신과 자명환뿐인것을 의미한다.

그 외에도 준동형사상에서 아이디얼의 성질들을 정리하면

- 환준동형사상의 kernel은 정의역의 아이디얼이다.

- 두 환(I,R)의 아이디얼관계를 준동형사상에 태워보내면 각각의 상(f(I),f(R))도 아이디얼관계가 된다.

- 그러나 역사상에선 역사상은 원래 전사이므로 치역인 환의 아이디얼을 역사상에 태워보내면 정의역인 환과 아이디얼관계가 된다.

또한 제1동형정리를 만족한다.

마지막으로 단위원을 가진환에서 진아이디얼에 대한 동치조건을 소개한다.

단위원을 가진 가환환에서 다음은 동치이다.

- 아이디얼이 자기자신이다. ($I=R$)

- 아이디얼이 단위원을 가지고 있다. (고로 R의 원소를 죄다 만들어낼 수 있다.)

- 아이디얼이 단원을 가지고 있다. (단원을 통하여 단위원을 만들어낼 수 있다.)

2. 극대아이디얼

환 R에 대하여 $R/I $가 체가 되는 조건이 없을지 생각해보자.

체는 가환인 단순환으로 생각할 수 있으므로 단위원을 가진 가환환 R에 대하여 $ R/I$가 단순환이 된다면 문제가 없을듯하다. 가환환의 상환도 가환일것이기 때문이다.

R/I가 단순환이 되는 조건이 바로 I가 극대아이디얼인 것이다. 극대아이디얼을 정의하면

환 $R$에 대하여 $I$ : $R$의 극대아이디얼

⇔ (i) $I$ 는 $R$의 진아이디얼

(ii) $I \subset J \triangleleft R \Rightarrow J = I$ 또는 $J = R$ (더 큰 진아이디얼은 없다.)

왜 $I$가 극대아이디얼이면 $R/I$는 단순환이 되는지 살펴보자.

[증명] $\phi :R\longrightarrow R/I$에 대하여 $\phi$는 준동형사상이다. (이를 표준준동형사상이라고도 한다.)

그런데 $R/I$가 단순환이 아니라고 가정한다면 어떤 아이디얼 $J$가 존재할 것이다.

$I$는 $R/I$의 영원이므로 부분환인 $J$에 속한다. 역상에서 아이디얼성이 보존되므로 $J$의 역상도 아이디얼일 것이고 $I$는 $J$의 역상에 속한다.

그러나 이것은 $I$가 극대아이디얼임에 모순이다.

그러므로 $R/I$는 단순환이고 가환환이라는 상황에서는 체가 된다.

(가환환의 상황에서 $R/I$가 체임을 다이렉트로 증명하는 방법도 있다)

또한 체는 단순환이므로 체의 아이디얼로서 ${0}$이 극대아이디얼이 될 것이다. (위에것이랑 혼동주의 위에것은 상환이 체인경우)

3. 소아이디얼

환 R에 대하여 $R/I$가 정역인 경우는 없을지 생각해보자.

정역은 단위원을 가진 가환환으로서 영인자가 존재하지 않는 환이다. 단위원을 가진 가환환 R에 대하여 $R/I$가 영인자를 가짐을 보인다면 문제가 없을 듯하다.

그럴 때 필요한 조건이 I가 소아이디얼이라는 조건이다. ($R/I$가 소환(영인자를 가지지 않는 환)이라는 것을 의미한다.)

환 $R$에 대하여 $I$ : $R$의 소아이디얼

⇔ (i) $I$ 는 $R$의 진아이디얼

(ii) $ab \in I \Rightarrow a \in I$ 또는 $b \in I$

$R/I$가 소환임을 알아보자

[증명] $R/I$의 임의의 원소 $a+I$, $b+I$에 대하여

$(a+I)(b+I)=ab+I=I$ 이면 $ab \in I$이다.

그러면 소아이디얼성으로 인하여 $a \in I$ 또는 $b \in I$이다.

따라서 $a+I=I$ 또는 $b+I=I$이다. (즉 영인자가 존재하지 않는다.)

역은 역순으로 풀면 된다.

이렇게 됨으로 극대아이디얼과 소아이디얼의 관계 또한 알 수 있다.

R: 극대아이디얼 ⇒ R/I: 체 ⇒ R/I: 정역 ⇒ R: 소아이디얼

4. 주아이디얼 (단항아이디얼)

군에서 한 원소가 생성하는 군에 대해서 배웠다. 이와 비슷한 모양의 것이 아이디얼에 존재한다. 그것을 주아이디얼이라고 한다.

주아이디얼은 어떤 원소를 포함하는 가장작은 아이디얼로 정의한다.

R: 단위원을 가진 가환환일 때 $a \in R$에 대하여

$<a>$ := a를 포함하는 R의 최소의 아이디얼

=$\cap {I|a \in I \triangleleft R}$

= aR(=Ra) : a에 의해 생성된 R의 주아이디얼 (단항아이디얼)

한마디로 정의하면 한 원소로 생성되는 아이디얼을 주아이디얼이라고 하는 것이다.

이에 대하여 정리하나를 소개한다.

체 F에 대하여 $I \triangleleft F[x] \Rightarrow I$: $F[x]$의 주아이디얼

(즉 $F[x]$:PID(주아이디얼정역)

[증명] $I$의 원소중에 차수가 가장작은 원소를 $g(x)$라고 하자

이제 $I=<g(x)>$임을 보이면 된다. (I={0}인 경우 I=<0>:주아이디얼이므로 이 경우를 빼고 생각하자)

(i) $I \supset <g(x)>$ : $g(x)$가 $I$의 원소이므로 자명하다.

(ii) $I \subset <g(x)>$ 임의의 $F[x]$의 원소를 택한 후 다항식환의 호제법으로 몫과 나머지로 분리한다. 그리고 나머지가 0임을 보이면 된다.

그 다음 중요한 정리를 하나 더 소개한다.

체 F에 대하여 $0 \ne p(x) \in F[x]$에 대하여

$p(x)$ : 기약다항식 ⇔ $<p(x)>$ : $F[x]$의 극대아이디얼 ⇔ $F[x]/<p(x)>$ : 체

첫번째 화살표만 증명하면 충분할것이다. 두번째 화살표는 이미 극대아이디얼 설명하며 알아보았다.

[증명](기약⇒극대) $<p(x)>$보다 큰 아이디얼 $I$를 잡는다. 그러면 $I$도 어떤 $g(x) \in F[x]$에 의하여 생성된다.

$<p(x)> \subset <g(x)>$이므로 $\exists f(x) \in F[x] s.t. p(x)=g(x)f(x)$ 그러나 $p(x)$는 기약이므로 둘중하나는 상수이다.

$g(x)$가 상수이면 $I$는 단원으로 생성되므로 $I=F[x]$, $f(x)$가 상수이면 $<p(x)>=<g(x)>$ 그러므로 극대아이디얼성을 만족한다.

(극대⇒기약) $p(x)=g(x)f(x)$이라 하면 $<p(x)> \subset <g(x)> \subset F[x]$이므로 극대아이디얼성으로 인하여 $<g(x)>$=$<p(x)>$ 또는 $F[x]$

첫번째 경우 둘이 생성하는 아이디얼이 같으므로 $f(x)$가 상수이다. 두번째 경우 $<g(x)>=F[x]$이므로 $g(x)$는 단원이고 상수이다.

4. 잉여류와 라그랑지정리

Bitssam — Thu, 15 Oct 2015 19:58:00 +0900

군의 구조를 파악하는 것의 중요성은 이미 전에 언급한 바 있다. 그런데 아주 큰 군의 구조를 파악하는 것이 때로는 어렵고 복잡할 때가 있다.

그러므로 군의 구조를 파악하기 위하여 군의 일부 구조를 파악해보는 것이 유효할 경우가 있다.

하지만 그저 아무거나 기준 없이 일부분을 보는 것은 의미가 없다.

부분군이라는 것이 첫번째 일부분을 보는 방법이다. 부분군에는 군의 연산구조나 각종 군이 가지고 있는 특성을 담고 있기 때문이다.

또 다른 방법은 비슷한 것 끼리 모아 동치류로 묶어보는 방법이다. 이것을 잉여류라고 부를 것이다.

이런 묶음들이 몇 개 있는지, 묶음엔 어떤 원소들이 포함되는지에 대하여 군의 위수는 보기보다 많은 정보를 제공하여 준다.

그러므로 군의 위수를 인수분해 해보는 방법도 좋은 방법이다. 이것들에 기반을 주는 것이 바로 라그랑지 정리이다.

이런 동치류들이 군을 이룬다면 좀 더 부분으로 전체를 보는 것이 용이해질텐데 그것은 다음 포스팅에서 다뤄보도록 하자.

1. 잉여류

G의 부분군 H가 존재한다고 가정하자. 우리는 이 부분군을 이용하여 동치관계를 정의하여보자.

$a\sim _{ L }b\; \Leftrightarrow \; a^{ -1 }b\in H\\ a\sim _{ R }b\; \Leftrightarrow \; ba^{ -1 }\in H$

이것으로 동치류를 정의하면 부분군의 원소에 대하여 a를 좌, 우로 연산한 집합이 도출된다. 이것을 a를 포함하는 H의 좌(우)잉여류라고 한다.

$[a]_{ L }:=\{ x\in G|x\sim _{ L }a\} =aH\\ [a]_{ R }:=\{ x\in G|x\sim _{ R }a\} =Ha$

이것으로 상집합을 정의하면

$G \big/ \sim _{ L } =\{ \overline { a } |a\in G\} =\{ aH|a\in G\} \\ G \big/ \sim _{ R } =\{ \overline { a } |a\in G\} =\{ Ha|a\in G\} $

2. 라그랑지 정리

군의 위수와 부분군의 위수 잉여류의 개수가 연관성이 있음을 몇가지 군과 부분군으로부터의 잉여류를 구해봄으로써 알 수 있다.

<라그랑지 정리>

$H \le G \Rightarrow |H| \big| |G|$

특히 $|G|=|H|[G:H]$ ($[G:H]$ : G에서의 H의 지수라고 한다. 잉여류의 개수이다.)

[증명] : 잉여류끼리 서로소이므로 잉여류를 모아놓은 것은 군의 분할 이라는 것을 보이면 된다.

라그랑지정리를 이용하면 부분군의 부분군에 대한 지수에 대한 정리를 하나 도출할 수 있다.

$K \le H \le G$ , $[G:H]< \infty$, $[G:K]< \infty$
⇒ $[G:K]=[G:H][H:K]$

군의 어떤 원소 a에 대하여 a의 order는 군의 위수를 나눈다. 왜냐하면 a로 생성되는 순환군도 하나의 부분군이기 때문이다.

$a \in G \Rightarrow ord(a) \big| |G|$

군의 위수로 군의 구조를 어느정도 알 수 있는 아주 좋은 예가 있다. 임의의 군에 대하여 그 위수가 소수이면 그것은 순환군이라는 사실이다.

$|G|=p$ (소수) ⇒ $G$: 순환군

[증명] |G|=p이므로 라그랑지정리에 의하여 G의 부분군은 비자명진부분군은 아니다. 그러면 한 원소에 의하여 생성되는 순환군을 구성하면 이것은 분명히 G의 부분군이므로 자명군이거나 G자신이다 (그러나 자염군은 될수 없다) 그러므로 G는 순환군이다.

3. 치환

Bitssam — Thu, 15 Oct 2015 19:57:00 +0900

치환은 바꾸어놓는다 라는 뜻이다. 바꾸는 행위와 대수와 어떤 관계가 있을까? 그 관계는 갈로아에 이르러서야 방정식의 가해성을 갈로아군의 가해성으로 분석해내면서 알게 된다. 갈로아군이란 어떤 방정식이 체안에서 해를 가지지 않을때 해를 가지도록 체를 확장시켜준다면 그 해끼리 치환하는 사상을 생각해내어 그것을 모아놓은 것이다. 이것들을 체의 자기동형사상이라고 하는데 그것은 체론에 가서 자세하게 설명하기로 한다. 치환의 연산은 처음 다루는 것이기에 간단한 연산부터 정리까지 다 설명해놓고 있다.

1. 치환군

우선 바꾼다는 것이 원소를 재베열한다는 것이고 그것은 사상에서는 전단사와 그 개념이 상통한다. 결국 치환이라는 것은 전단사함수을 의미한다.

어떤 집합$A$에 대하여 $A$에서 $A$로의 전단사함수를 모아놓은것을 치환군이라고 한다.

$S_A$:={$\sigma |\sigma : A \longrightarrow A$:전단사}

: $\cdot$ 에 대한 군

$\sigma :A$의 치환 ⇔ $\sigma \in S_A$

우리는 이것을 일반화하여 숫자 {$1,\cdots ,n$}에 대한 치환군을 생각하자. 이를 n차 대칭군이라 한다.

$S_n:=S_{ \{1,2,\cdots , n \}}$

|A|=|B| ⇔ $S_A \cong S_B$

2. 치환의 연산

치환이 전단사함수라는 것만 언급했지 구체적으로 어떤 것인지 언급하지 않았다. 이제 실제로 그것의 실체를 생각해보자.

여기 아주 간단한 집합에있는 한 전단사함수를 가져왔다.

이러한 치환을 (1 2 3)이라고 표현하는데 이것은 1에서 2로 대응되고 2에서 3으로 대응되고 3에서 1로 대응된다는 뜻이다.

이러한 모양을 다음과 같이 표현할 수도 있을것이다.

이렇게 3번의 주기로 원래수로 돌아오는 치환을 3-주기치환이라고 한다.

n-주기치환 ⇔ 주기(길이)가 3인치환

특히 2-주기치환은 '상호 교환'에서 한 글자씩 따와 호환이라고 한다.

그렇다면 이런 치환은 어떻게 표현할텐가?

이러한 치환은 서로소인 두 치환을 합성한 형식인 (1 2 3)(4 5)로 표현한다. 즉, 모든 치환은 서로소인 순환치환들의 곱으로 표현된다.

주의해야할 점은 치환은 왼쪽부터 연산하는 것이 아니라 오른쪽부터 연산한다는 점이다. (여기서 간접적으로 알 수 있듯이 치환군은 가환군이 아니다.)

이 치환을 그림으로 나타내어보자.

이렇게 2개의 순환으로 나타난다는 것을 알 수 있다. 이렇듯이 치환하는 집합의 원소를 어느 순환에 속하는냐에 대한 동치류로 나누어볼수있다는 것이다.

이것을 궤도라고 하고 {1,2,3}, {4,5}와 같이 집합으로 나타낸다.

이렇듯 임의의 유한집합의 치환에 대하여 치환은 여러개의 서로소인 순환치환의 곱으로 표시된다.

A: 유한집합일 때

$\sigma \in S_A \Rightarrow \sigma$: 서로소인 순환치환의 곱

[증명] 생략

(1 3 4 5 2) 라는 치환을 더 이상 쪼갤수는 없을까?

1을 3으로 보내니까 우선 (1 3)이라는 호환이 필요하다.

그리고 1을 4로 보내니까 (1 4)가 필요하다.

그리고 1을 5로 보내니까 (1 5)가 필요하다.

그리고 1을 2로 보내니까 (1 2)가 필요하다. (1의 자리를 계속바꾼다고(치환) 생각해보자.)

그렇다면 (1 3 4 5 2)=(1 2)(1 5)(1 4)(1 3) 으로 표현할 수 있다.

즉 모든 치환은 호환들의 곱으로 표현된다.

n-주기치환은 n-1개의 호환의 곱으로 표시된다.

그리고 (1 3 4 5 2)는 (1 2)(1 5)(1 4)(1 3) 의 꼴로만 표현할 수 있는것은 아니다.

(1 2)(1 5)(1 4)(1 3)(1 4)(4 1)의 꼴로 표시될수도 있다. 사실 이렇게 다르게 표시할 수 있는 이유는 (1 4)(4 1)=id이기 때문이다.

그렇다면 짝수개의 호환의 곱으로 표현되는 치환은 무슨짓을 하더라도 끝까지 짝수개의 호환의 곱으로 표현되는것이다.

(물론 홀수개의 호환의 곱으로 표현되어도 무슨짓을 하더라도 홀수개의 호환으로 표현된다.)

그렇다면 몇개의 호환으로 표현되는 것을 아는 것보다 짝수개 혹은 홀수개의 호환으로 표현된다는 사실이 더 의미있다.

짝수개의 호환으로 표현되는 치환을 짝치환(우치환)이라고 하고 홀수개의 호환으로 표현되는 치환을 홀치환(기치환) 이라고 한다.

짝치환 (우치환) : 짝수개의 호환으로 표현되는 치환

홀치환 (기치환) : 홀수개의 호환으로 표현되는 치환

$A_n$ : $S_n$(n차대칭군)의 원소중에 짝치환(우치환)만 모아놓은 집합 (부분군이다)

$B_n$ : $S_n$(n차대칭군)의 원소중에 홀치환(기치환)만 모아놓은 집합 (부분군이 아니다. 두 홀치환을 연산하면 짝치환이 되어 닫혀있지 않기 떄문이다)

이중에 $A_n$ 교대군이라고 하는데 이 교대군은 나중에 5차 이상 방정식의 비가해성을 밝히는데 주요한 역할을 한다.

그러한 이유는 $S_n$의 정규부분군인 $A_n$이 단순군이라는 구조를 가지기 떄문이다.

치환의 연산의 특성과 짝치환,홀치환의 정의로부터 다음과 같은 연산법칙이 적용된다.

(1) 우치환*우치환=우치환

우치환*기치환=기치환

기치환*우치환=기치환

기치환*기치환=우치환

(2) 항등치환 = 우치환

(3) 우치환의 역원은 우치환이고 기치환의 역원은 기치환이다.

치환하는 원소가 서로 겹치지 않는다면 (서로소) 사실 치환의 순서가 바뀌던 서로 독립적으로 치환될것이기 때문에 교환을 해줘도 상관없다.

$\sigma, \tau$: 서로소 ⇒ $\sigma \tau = \tau \sigma$

치환에도 order를 적용할 수 있다. 예컨대 (1 2 3)이라는 치환을 3번하게 되면 원래의 원소로 되돌아온다. 이때 3을 치환의 order로 정의한다.

ord($\sigma$):={$k \in Z | \sigma ^k = id$}

이같은 순환치환의 order는 간단히 정의되었지만 여러개의 치환이 곱해진 치환의 order는 어떻게 정의할까?

ord($\sigma, \tau$)=lcm{ord($\sigma$), ord($\tau$)} (치환의 곱의 order는 각 치환의 order의 최소공배수로 정의한다.)

치환의 멱이 id가 되려면 각 치환의 order의 배수가 되어야 하므로 최소공배수가 되는 것이다.

3. n차 정이면체군

이면체란 한 평면을 두께가 없는 입체로 생각한다면 윗면과 밑면이 맞닿아 있을 것이다. 그것이 이루는 입체이다.

이것의 각꼭지점에 숫자를 차례로 적은 상태에서 회전을 하거나 뒤집는다. 그러면 숫자배열이 바뀌어있다. 그것을 치환으로 생각하여도 무방할것이다.

그렇게 군을 하나 구성하면 n차 정이면체군이 된다. 우연의일치로 $D_3$와 $S_3$가 같다. (전부 이렇지 않다.)

이번엔 $D_4$를 살펴보자. 이번엔 $S_4$의 부분군이다.

대략적으로 우리는 n차정이면체군이 어떻게 생겼는지 보았다. 그리고 다음과 같은 사실을 알았다.

$D_{ n }\begin{cases} \cong S_{ n }\quad (n=3) \\ \le S_{ n }\quad (n\ge 4) \end{cases}$

여기서부터 모든 군이 대칭군에 매장되는지에 대한 생각을 가져보게 된다.

4. 케일리 정리

케일리 정리는 간단하게 다루겠다. 케일리 정리는 임의의 군은 그것의 대칭군에 매장된다는 것치다.

임의의 군 G에 대하여

$G \cong \exists H \le S_G$ (즉 $G$: $S_G$에 매장된다.)

[증명] f(x)=ax로 잡고 단사준동형임을 보인다.

2. 순환군

Bitssam — Thu, 15 Oct 2015 19:55:00 +0900

순환군은 생성군의 한 종류이다. 생성군이란 어떠한 원소를 포함하는 최소의 부분군으로서 어떠한 원소에 의해 생성되었다고도 할 수 있다.

1. 순환군

순환군의 구조로서 생성군의 정의부터 살펴보도록하자.

군 G에 대하여

$S \subset G$일 때

<S>:=$\cap \{H|S \subset H \le G \} (=:L)$ (S를 포함하는 G의 최소의 부분군 : S에 의해 생성된 G의 부분군)

=$\begin{cases} \{ p_{ 1 }^{ e_{ 1 } }\cdots p_{ k }^{ e_{ k } }|S_{ i }\in S,\; e_{ i }\in Z\} (=:K)\; (S\neq \phi ) \\ \{ e\} \; (S=\phi ) \end{cases}$

이 때 S를 <S>의 생성원이라 한다.

생성원의 원소가 몇개인지에 따라 생성군의 종류가 달라진다. 생성원의 원소의 개수가 유한이면 그 군을 유한생성군이라고 한다. 개수가 하나이면 그 군을 순환군이라고 한다.

① G : 유한생성군 ⇔ $\exists$S : G의 부분집합 s.t. G=<S>

특히 S={$a_1,a_2, \cdots , a_k$}에 대하여

<S>=<$a_1 \cdots a_k$>

② G : 순환군 ⇔ $\exists$a $\in$ G s.t. G=<a> (={$a^n$|$n \in Z$})

정수론에서 위수라는 개념을 배웠다. 정수도 하나의 군이므로 군에도 order라는 개념을 적용할 수 있을 것이라 생각할 수 있다.

$a \in G$일 때

ord(a) = |<a>|

= $\begin{cases} min\{ k\in Z|a^{ k }=e)\; (\exists k) \\ \infty \; (\not \exists k) \end{cases}$

order의 특성은 정수론의 그것과 같다.

$a \in G , \; ord(a)=k < \infty$일 때

① $k=1 ⇔ a=e$

② $k|n ⇔ a^n=e \; (n \in Z)$

이러한 정의들로부터 다음과 같은 특성을 도출할 수 있을것이다.

G: 순환군 ⇒ G: 유한생성가환군 (순환군의 가환성은 후에 언급한다)

G: 유한군 ⇒ G: 유한생성군 (G자체를 생성원으로 보면 충분)

이제 순환군이 가환군이라는 것을 알아봐야 한다.

G: 순환군 ⇒ G: 가환군

[증명] 순환군의 각 원소에 대하여 생성원의 멱으로 표현된다. 그러면 두 원소의 곱은 생성원의 멱의 형식으로 표시될것이며 지수자체는 정수라 가환이므로 결국 가환이된다.

순환군의 부분군의 구조에 대하여 알아보자. 순환군의 부분군이라 해봐야 한개의 생성원에 대하여 멱으로 표시되는 것이다.

결국 이것이 순환군이라는 직감이 강력하게 들수 밖에 없다. 실제로 증명하도록하자.

순환군 G에 대하여

$H \le G$ ⇒ $H$: 순환군

[증명] H와 <$a^n$>의 포함관계를 이용하여 증명한다 $\subset$ 방향을 밝히면 나머지는 거의 자명하다. 이는 정수에 대한 호제법으로 증명한다. 임의의 H의 원소에 대하여 a에대한 멱의 지수가 n으로 나누어떨어짐을 보인다. (나머지가 0이면 된다.)

2. 순환군의 구조

이제 순환군의 구조가 본질적으로 무엇과 같은지 알아보도록 하자.

G: 순환군 ⇒ $G\cong \begin{cases} Z_{ n }\; (|G|=n<\infty ) \\ Z\; (|G|=\infty ) \end{cases}$

[증명] 적절한 준동형사상을 잡아서 전단사임을 보이면된다. 기본서에 많이 언급되어 있으므로 생략한다.

결국 순환군의 구조는 그의 위수에 따라 결정된다.

$G_1, G_2$: 순환군 일 때

$G_1 \cong G_2 \Leftrightarrow |G_1|=|G_2|$

그러므로 순환군은 정수론적인 구조를 많이 가져다 쓰기도 한다. 다음과 같은 경우도 마찬가지이다.

G=<a>: 위수 n인 순환군 일 때 ($\cong Z_n$)
(1)|<$a^s$>|=$\frac { n }{ d } $ (단, d=(s,n))

(2)① <$a^s$>=<$a^d$> (단, d=(s,n))
② <$a^s$>=<$a^t$> ⇔ (s,n)=(t,n)
(3)① G의 부분군의 개수 = n의 양의 약수의 개수
② G의 생성원의 개수 = $\phi (n)$

그 이유를 간략히 이야기해보면 다음과 같다

(1) 최대공약수는 순환군의 위수의 약수이기 때문에 n승을 만들기 위해서 n/d승만 하면 충분하다.

(2) (1)에 의해서 위수가 같기 때문이다. 위수가 같으면 순환군에선 같은 구조이다.

(3) order의 최대공약수가 같으면 같은 구조기 때문에 같은 최대공약수당 한번씩만 세주면된다. 고로, 양의 약수의 개수만 세주면 된다. 그리고 생성원은 부분군이 되는것이아니라 자기자신을 생성해내야 하기 때문에 위수가 변하면 안된다 그러므로 최대공약수는 1 그러므로 생성원은 정수론으로 이야기하면 기약잉여계 즉 개수는 오일러함수 개만큼이다.

1. 군의 기본개념

Bitssam — Thu, 15 Oct 2015 19:54:00 +0900

군은 우리의 실생활에 그다지 활용 할 수 있는 모델이 없다.

한가지 연산만 정의되는 집합은 복잡한 우리세계를 반영하지 못한다.

하지만 이렇게도 간단한 구조에(사실 별로 간단하지도 않지만) 우리가 관심을 가지고 탐구하는 이유는

더 복잡한 환과 체와 같은 구조를 더 잘 보기 위해서라는 것이다.

그러므로 군 또한 중요하다.

또한, 군의 구조를 파악하는 것이 굉장히 중요한 하나의 이유는

방정식의 가해성을 알기 위하여 군의 구조가 가해군인지 살펴보아야 한다는 것이다.

군이라는 구조는 이항연산위에서 정의되어 있다.

그곳에서 닫혀있음, 결합법칙, 항등원, 역원의 존재성과 유일성을 만족한다.

여기서 언급하는 해당개념은 아주 기초적인 것으로 기본서에 잘 설명되어 있습니다. 생략하도록 하겠습니다.

이항연산, 가환, 결합, 닫혀있다, 동형이항구조 등..

1. 군

군이란 언급하였듯이 이항연산위에서 정의된 하나의 집합으로

닫혀있음, 결합법칙, 항등원, 역원의 존재성과 유일성을 만족하는 집합으로 정의한다.

<G , *> : 군
⇔ (1) *: G상의 잘정의된 이항연산에 대하여 (닫혀있다는 뜻)
(2) 결합법칙이 성립한다
(3) 항등원이 존재한다.
(4) 역원이 존재한다.

여기서 (1)만 만족하는 것을 이항구조, (2)까지 만족하면 반군 (3)까지 만족하면 모노이드 (4)까지 만족하면 군이라고 한다.

항등원과 역원의 유일성에 대해서는 언급하지 않은 채 자명하다 생각해보겠다.

(4) 역원이 존재하는 성질 때문에 다음과 같은 성질이 성립한다.

1. 좌우약분법칙이 성립한다,
2. 일차 선형방정식의 해가 존재한다.

주의할 점은 군은 기본적으론 가환성을 만족하지 않는다는 점이다.

det가 0이 아닌 행렬의 군 $GL_2 (R)$을 예로 들면 좋다.

그러면 가환인 군을 뭐라 말하느냐면, 가환군이라고 한다, 다음은 가환군의 동치조건들이다. 증명은 매우 쉬우므로 기본서를 참고하기 바란다.

G : 가환군
⇔ $\forall a,b \in G$에 대하여 $ab=ba$
⇔ $(ab)^2=a^2 b^2$
$\Leftarrow \forall a \in G, \; a^{-1}=a$
⇔ $\forall a \in G, \; a^2=e$

군을 연산표로 구성해보는 과정도 필요하나 지면상 한계로 다루지 않는다. 한번씩은 해보기 바란다.

2. 부분군

부분군이란 군의 부분집합중 군이 되는 것을 의미한다. 바로 정의와 동치관계를 살펴보도록 하겠다.

$H \le G$ (H는 G의 부분군)
⇔ (1) $\phi \neq H \subset G$
(2) <H, *> : 군
⇔ (1) $a, b \in H \Rightarrow xy \in H$ (닫혀있다)
(2) $x \in H \Rightarrow x^{-1} \in H$ (역원존재) (2-step)
⇔ (1) $a, b \in H \Rightarrow xy^{-1} \in H$ (1-step)

만약 유한부분군이라면
$H \le G \Leftrightarrow (x,y \in H \Rightarrow xy \in H)$ 닫혀있기만 해도 된다.

정의와 2-step이 동치인 이유는 결합법칙은 연산 본래의 성질이고, 항등원은 역원과 닫혀있다를 이용해 유도할 수 있기 때문이다.

또한 1-step마저도 동치인 이유는 제시된 조건이 역원존재와 닫혀있다를 한꺼번에 가지고 있기 때문이다.

유한부분군에서 닫혀있기만 해도 부분군인 이유는 원소는 유한하고 닫혀있기 때문에 어떤 원소의 멱이 항등이되는 시점이 있다.

그리고 임의의 원소에 의해 몇번의 멱을 더하면 항등이 되기 때문에 그 몇번의 멱을 더하는 것이 역원이다. 그러므로 역원이 유도되는 것이다.

다음은 부분군과 관련된 용어들이다 참고바란다.

진부분군 : G자신을 제외한 부분군
자명부분군 : 항등원만 있는 군 {e}
비자명부분군, 비자명진부분군 : 무엇인지는 앞에 있는 것으로부터 알 수 있다.

부분군의 교집합과 합집합은 부분군일지 알아보자. 결론만 이야기하면 교집합은 그렇고 합집합은 그렇지 않다는 것이다

심지어 합집합이 부분군이라면 그 부분군 끼리 포함관계이기도 하다.

군 G에 대하여
(1) ① $H,K \le G \Rightarrow H \cap K \le G$
② $H_i \le G (i \in I) \Rightarrow H= \bigcap _{i \in I} {H_i} \le G$ (①에 수학적귀납법 사용)
(2) $H,K \le G$에 대하여 $H \cup K \le G \Leftrightarrow H \subset K or K \subset H$

(1)이 성립하는 이유는 교집합엔 공통의 항등원을 모두 가지므로 공집합은 아니다.

교집합의 어떤 원소에 대해서도 H,K에 동시에 존재하며 닫혀있고, 역원도 존재하므로 결국 교집합에도 동일하다.

(2)가 성립하지 않는 이유는 $H$,$K$가 서로 포함되지 않는다 하였을 때, 교집합에 속하지 않는 각각의 원소를 $h$,$k$라고 하자

그러면 $hk$가 어디에 속해있는가에 대하여 생각해보면 $H$에 속하던 $K$에 속하던 모순이 일어나게 된다.

예를 들어 $hk \in H$ 라 하면 $k= h^{-1} (hk) \in H$ 이므로 모순이다.

구성주의 (급진적, 사회적)

Bitssam — Fri, 31 Jul 2015 10:18:20 +0900

1. 급진적 구성주의 (본 글라저스펠드)

(1) 급진적 구성주의의 원리

① 자주적 구성의 원리 : 지식은 자주적으로 구성해야 한다.

② 생장 지향성의 원리 : 인식기능은 생장성을 지향한다.

③ 비객관성의 원리 : 조직한 지식은 비객관적이다. (피아제와 차이)

2. 사회적 구성주의 (콥)

(1) 사회적 구성주의의 원리

① 급진적 구성주의의 자주적 구성의 원리와 생장지향성의 원리는 동의

② 비객관성의 원리를 수정보완 – 공통 주관적인 의미의 객관성

③ 사회마다 공통적인 주관을 가지고 있으며 사회마다 다르므로 비객관적

(2) 사회적 구성주의에서 본 수학적 지식 구성 과정

과정1은 수학자에게의 수학, 과정2는 학교에서의 수학

3. 구성주의의 원리

(1) 학생중심적 개별화의 원리

(2) 발문중심적 상호작용의 원리

(3) 의미 지향적 활동의 원리

(4) 반영적 추상화의 원리

(구성주의의 원리는 거의 제곧내임)

인지주의 Part3 (딘즈, 브루너, 오수벨)

Bitssam — Thu, 30 Jul 2015 09:21:06 +0900

6. 딘즈

(1) 수학적 개념 형성의 3단계와 개폐연속체

① 1단계 – 예비놀이 단계 : 의식적 목적이 없음

② 2단계 – 구조화된 놀이 단계 : 느린 깨달음이 일어나면서 수학적 경험이 시작되는 단계로 구조화가 필요함을 이해하고 목적이 서는 단계

③ 3단계 – 연습게임 단계 : 갑작스럽게 구조에 대한 통찰 곧 이해의 순간이 오는 개념이 형성되며 정착되는 단계

④ 개폐연속체 : 개념형성의 3단계를 거쳐서 일단 형성된 개념은 닫힌 상태로 되지만 내성적 분석과 적용의 과정(내/외부적으로 새로운 상황에 처해짐)에서 열린상태로 변해 보다 높은 수준에서 재구성이 이루어짐

(2) 딘즈의 교수-학습 과정 6단계

① 자유 놀이 단계 : 구체적인 소재를 처음으로 자유롭게 대하는 시기

② 게임 단계 : 규칙성이 있다는 것을 착안하게 되는 시기

③ 공통성 탐구 단계 : 공통적인 구조를 파악하는 시기

④ 표현 단계 : 스스로 인식 할 수 있는 표현으로 남기는 단계

⑤ 기호화 단계 : 표현 할 수 있는 기호체계를 찾게 된다.

● (주의) 이 때 아동이 자기 나름의 기호를 찾아도 되지만 대부분의 책에서 이용되고 있는 기호 체계를 받아들일 수 있도록 이끄는 것이 필요.

⑥ 형식화 단계 : 기술된 것 사이의 순서관계가 확립되는 단계

(3) 교수-학습 원리

① 역동적 원리 : 예비적인 게임 – 구조화된 게임 – 연습 게임 이라는 자연스러운 과정에 따라 조직되도록 해야 한다.

② 구성의 원리 : 수학의 학습에는 구성이 분석보다 선행되어야 한다.

③ 수학적 다양성의 원리 : 수학적 개념을 제시할 때 비본질적인 것은 가능한 한 변화시켜서 다양하게 제시해야 함.

④ 지각적 다양성의 원리 : 하나의 개념을 지각적으로 다르지만 구조적으로 동치인 구체적 자료로 제시해야 한다.

7. 브루너의 발견학습

(1) EIS 이론

① E 활동적 표현 : 구체적인 자료를 직접 다루는 것

② I 영상적 표현 : 대상의 이미지를 다루는 것

③ S 상징적 표현 : 언어나 기호로 표현 하는 것

④ 이 세 단계의 표현수단의 발전에 따라 지도하는 것을 나선형교육이라 한다.

(2) 지식의 구조

① 지식은 모든분야에서 폭발적 팽창을 거듭하고 모든 것을 배운다는 것은 불가능하고 경제적으로 낭비가 크다 그러므로 학생들에게 교과내용의 기본적 구조를 이해시켜야 한다.

(3) 발견학습-지도 방법

① 안내된 발견학습 : 교사가 수업을 이끌어 가는데 사전에 계획된 절차와 오류를 최소화하면서 질문이 필요하면 핵심 아이디어를 제공하는 방법

② 한계점

● 모든 지식을 스스로 발견하는 것은 어렵다

● 시간이 많이 소요

● 교사가 발견을 도우려고 준비해야 할 분량이 많다.

● 연역적 사고와 관련된 내용을 발견 시 초중학년에서 어려움을 느낀다.

(4) 수학과 학습-지도 이론

① 구성 이론 : 학생들이 수학을 학습하는데 가장 좋은 방법은 구성임.

② 기법 이론 : 학생의 지적발달 수준에 알맞은 기호를 사용하면 이해는 쉽게 됨.

③ 대조와 변화이론 : 수학적 개념의 구체적 표기방식부터 추상적 표기방식으로 되는 과정은 상이하게 대조되는 개념을 포함 (대조) 일반적 개념을 배우고자 한다면 다양한 예로 설명 (변화)

④ 연결 이론 : 수학적 개념은 다른 개념에 연결되어 가르쳐야 함.

8. 오수벨

(1) 유의미 학습이 일어날 수 있는 조건

① 실사성과 구속성을 준거로 하는 유의미한 학습과제가 제시되어야 한다.

㉠ 실사성 : 학습과제의 구조와 내용을 어떻게 표현하더라도 의미는 불변

㉡ 구속성 : 학습자가 어느 정도 깨달을 수 있는 추상적 용어

② 학습자는 관련정착아이디어를 소유하고 있어야 한다.

③ 학습자는 정착아이디어와 새로운 과제를 관련시킬 수 있는 태세를 소유해야 한다

(2) 유의미 수용학습 원리

① 점진적 분화의 원리 : 포괄적인 개념을 먼저제시하고 점차 특수화, 세분화

② 통합적 조정의 원리 : 새로운 학습내용과 이미 학습된 내용 사이에 유사성과 차이점을 분명히 하여 새로운 학습 내용이 기존 인지구조에 명확히 분별되어 통합되어야 한다.

③ 선행조직자의 원리 : 새로운 아이디어를 지도하기 위해서 그 배경적 아이디어를 고려한 일반성, 추상성, 포괄성을 갖는 선행조직자를 제시해야 한다.
->파지 촉진, 이해측면학습 촉진

인지주의 Part2 (피아제, 비고츠키, 스켐프)

Bitssam — Thu, 30 Jul 2015 00:36:47 +0900

3. 피아제

(1) 인지기능

① 조직기능 : 쉐임과 인지구조를 통합해 전체성을 구성

② 적응기능 : 인지구조가 변화, 발달하는 평형화 과정

㉠ 동화 : 이미 학습된 지식과 기능을 이용해, 주어진 환경에 순응 (쉐임이나 인지구조에 양적변화)

㉡ 조절 : 이전의 구조가 분화해서 새로운 구조를 만들어내는 것 (쉐임이나 인지구조에 질적변화)

(2) 인지발달 4단계

① 감각운동기

② 전조작기

③ 구체적조작기 : 가역성을 획득하여 조작이 가능하나 구체적 대상에 한정

④ 형식적조작기 : 조작자체를 반성하는 반영적추상화 가능

(3) 조작적 구성주의

1) 조작적 구성주의 수학인식론

① 조작은 내면화된 가역적 행위

② 논리-수학적 개념은 생물학적 유기체의 구조를 출발점으로 하여 감각운동적 구조를 거쳐 행동의 일반적조정으로부터 반영적 추상화에 의해서 구성된 조작과 그것을 바탕으로 구성된 보다 고차의 조작

2) 반영적 추상화

① 경험적 추상화와 반영적 추상화

㉠ 경험적 추상화 : 외부 대상이 갖는 성질들로부터 일반화된 지식을 이끌어내는 추상화

㉡ 반영적 추상화 : 활동과 조작에 대한 일반적 조정으로부터 이루어지는 추상화 (조작을 반성하여 객관적 지식을 안다)

㉢ 의사경험적 추상화 : 아동의 활동으로부터 구성이 이루어지지만 그 구성결과의 확인은 외부대상에 대해서 행해지는 추상화

② 반영적추상화와 그의 매커니즘

4. 비고츠키

(1) 근접발달영역 (ZPD)

① 근접발달영역 : 실제적 발달 수준과 잠재적 발달 수준간의 간격

㉠ 실제적 발달 수준 : 학생이 다른 사람의 도움 없이 독립적으로 문제를 해결 할 수 있는 수준

㉡ 잠재적 발달 수준 : 좀 더 지식이 풍부한 교사, 성인, 또래의 도움을 얻어 문제를 해결 할 수 있는 수준

② 학습은 사회적 상호작용을 통해 이루어져야함.

③ 모든 학생은 적절한 도움을 받으면 스스로 할 수 있는 것 이상을 할 수 있다.

④ 교사들은 아동의 잠재적 발달 수준에 맞게 선택되어진 공동 인지 활동들에서 어린이들과 함께 협력하고 그렇게 함으로써 아동의 실제적 발달을 촉진시켜야 함.

⑤ 학습은 발달을 주도한다, (피아제와 반대)

⑥ 모방과 교수는 발달에 있어 중요한 역할을 한다.

(2) 비계설정

① 도움을 적절히 조절하며 제공하는 것.

② 최종목표로 정한 행동을 아동이 독립적으로 수행하도록 비계설정해오던 것을 제때에 제거해야 함 (양도원칙)

(3) 정신의 도구로서 기호의 매개

① 언어는 정신의 도구이다. (사회적구성주의에서 중요)

② 언어는 주의집중, 암기, 감정조절, 문제해결 등 여러 가지의 정신기능을 익히기 위한 전략을 개발하는 데 이용될 수 있다.

5. 스켐프의 스키마 학습

(1) 지능학습과 반영적지능

① 지시체계

외부환경을 감지하고 목표상태와 현상태를 비교하고 계획을 세운후 행동으로 옮긴다.

㉠ 델타-1 : 외부환경으로부터 정보를 수용하여 실제적인 대상에 대하여 행동하게 하는 지시체계

㉡ 델다-2 : 델타-1의 지시체계가 경제적이고 적응력을 갖고 적용하도록 지식구조를 이루는 지시체계

② 직관적 지능과 반영적 지능 (거의 여기에 종합)

반영적 지능		직관적 지능
개념들 또는 스키마들 사이의 관계나 구조를 인식하여 여러 가지 방법으로 조작		지각된 실재적 대상 사이의 관계
수학학습을 할 수 있는 능력		실제적인 산술만을 하는 능력
지적학습 (95% 적절)		습관적 학습 (5% 적절)
델타-2 지시체계		델타-1 지시체계
관계적 이해		도구적 이해

(2) 스키마 학습 (스키마=쉐임)

- 기존 스키마를 지식획득의 수단으로 사용하는 학습이며 관계적 이해를 가능하게 하는 학습이다. 아동에게 적절한 예비스키마가 준비되어있어야 하고 자료가 적절하게 준비되어있어야 한다.

(3) 수학적 개념의 이해

① 도구적이해 : 그 규칙이 적용되는 이유를 모르고 문제해결에 적용

㉠ 장점

- 쉽게이해

- 보상이 바로 확인

- 지식이 덜 포함(부담적다)

㉡ 교사가 도구적 수학을 가르칠 수 밖에 없는 이유

- 관계적 이해할 시간적 여유 없다

- 잠깐 필요해 소개만 하는 경우

- 학생의 현 스키마로 이해불가

② 관계적이해 : 일반적 수학적 관계로부터 특정한 규칙이나 알고리즘 이끔

㉠ 장점

- 새로운 과제에 더 잘 적응

- 기억이 잘되고 오래지속

- 교육의 목적 그 자체

- 질적으로 유기적이다.

③ 논리적이해 : 논리적 필요에 따라 서술된 것을 나타낼 수 있는 능력, 자기자신 뿐만 아니라 다른 사람까지 확신시킬 수 있는 상태 (관계적 이해와 차이점)

④ 기호적이해 : 기호와 표기를 적절히 아이디어와 연결하는 능력

인지주의 Part1 (소크라테스, 듀이)

Bitssam — Tue, 28 Jul 2015 09:16:29 +0900

1. 소크라테스의 산파법

(1)소크라테스의 수학 교수-학습관

① 수학을 지도할 때에는 ‘의견’의 도출, 논박을 통한 무지의 자각과 탐구의욕의 유발, 지식의 상기를 돕든 조산 과정을 거치는 산파법을 이용해야 한다.

② 교사는 단지 질문만을 하여 아동의 영혼에 내재된 지식을 상기하도록 도와주는 산파여야 한다.

(2)수학 학습-지도 방법

① 학생은 자신의 무지를 자각→알고자 하는 강한 동기 발생→적절한 질문과 안내→올바르게 답하게 됨 (상기하게 됨)

② 지식교육이란 무지를 자각시킨 다음 망각된 지식을 상기해 내도록 도와주는 것

③ 부정적 수업 : 가지고 있는 지식을 흔들어 놓는 수업

④ 현재의 발문과 차이

소크라테스

현재

교사

- 학생이 발견할 핵심적 내용을 거의 제의한다,

- 학생에게 확인만 한다.

- 비평가적인 열린형식의 발문이다.

학생

- ‘네/아니오’로만 대답한다,

- 창의적이고 다양한 답을 제시한다.

(3)사고실험

교사가 지도에 앞서 상상 속에서 강의하고 학생들과 대화하고 토론을 하며 수업을 진행시키는 과정

2. 듀이의 산술교육

(1) 교육철학

- 진보주의 교육, 생활단원 학습

(2) 산술교육

① 수학이란 생활현실과의 관련속에서 제기되는 문제해결을 위한 도구로서 구성

② 수란 필요에서 비롯된 측정이라는 인간활동의 소산

③ 측정활동을 통해서 수 발생의 과정을 아동에게 경험시키는 형태로 수의 교육이 진행되어야 함

(3) 수 지도

① 수 : 측정하고자 하는 전체량과 단위량의 비

② 수 지도 : 측정해야 할 막연한 전체량을 도입하고 그것을 측정하기 위해 단위를 선택하고 전체량과 단위와의 비로써 수가 구성(확정된 전체)되도록 한다. 즉, 분석을 통하여 단위를 선택하고 종합을 통해 전체량과 단위와의 비로써 수를 구성하도록 지도한다.

㉠ 분석 : 대상을 서로 다른 몇 개의 개별적인 단위로 분석하는 것.

㉡ 종합 : 단위의 유사성의 인식으로 대상을 하나의 전체로 보는 것.

(4) 결론

① 듀이가 강조한 합리적인 산술교수법이란 ‘막연한 전체 → 단위 → 확정된 전체’의 순서를 따른다.

행동주의 (손다이크, 스키너, 가네) VS Gestalt(형태) 심리학 (베르트하이머)

Bitssam — Sun, 26 Jul 2015 11:05:17 +0900

1. 손다이크의 연합설

(1) 19세기까지의 시대적 배경

① 특정한 교과 내용에 대한 학습이 일반적인 정신능력의 도야를 가능하게 함

② 교육의 목적은 정신도야

③ 수학교과는 논리적 추론능력과 의지력 등을 도야하는 주요한 교과

(2) 손다이크의 학습이론

① 형식도야는 옳지 않으며 동일요소설이 중요.

② 학습은 자극-반응 bonds의 형성, 수학은 bonds가 연결된 결과물

③ ∑부분=전체

(3) 학습의 법칙

① 연습의 법칙 : 연습⇑ → bonds 강해짐

② 효과의 법칙 : bonds를 강화하기 위하여 만족스러운 상황이 제시

③ 준비의 법칙 : 행동 전에 bonds가 만들어져있어야 함

(4) 수학 학습-지도 방법

① 기본적인 계산에 대한 bonds는 강력하게 형성되어야 함

② 곤란(일시적실패)는 학습에 도움이 되지 않는다.

③ 산술의 연역적인 설명은 귀납적인 확인으로 대치하거나 절차가 마스터 된 다음 훨씬 후에 습관을 종합하고 이론적으로 설명하는 수단으로 학습한다.

④ 산술지도 시 산술능력을 분석하여 형성시켜야 할 bond와 connections를 선택하고 그들을 형성하는 최선의 순서와 수단을 발견하는 것이 중요하다.

(5)비판점

① 수학을 수많은 connection이나 사실로 분해함으로써 수학을 관련 없는 사실이나 절차의 집합으로 보게 한다.

② 분리된 개별적 사실을 암기하고 연습에 의한 습관화를 중시한다.

2. 스키너의 작동적 조건화설과 프로그램 학습

(1) 작동적 조건화설

- 교육학에서 다루었다.

(2)프로그램 학습-지도 방법

1) 원리와 특징 : 교육학에서 다루었다.

2) 반대의견

① 아동을 단순한 동물로 취급하여 중요한 인간의 지적인 성취를 부당하게 기계적으로 분해하고 있다고 본다.

(3)유의점

① 과제분석이 필요하다.

② 기존지식의 습득, 계산기능의 개발을 강조하는 측면에서는 적합해보이지만, 이해와 사고교육, 문제해결교육을 지향하는 학교수학의 본질적인 부분을 소홀히 하기 쉽다.주어진 학습과제에서 학습자의 출발점행동이 확인되어야 한다.

③ 학습과제는 하위과제에서 상위과제로 점진적으로 제시되어야한다.

3. 가네의 과제분석과 인지학습 8유형

(1) 과제분석

①과제분석이란 하나의 학습과제를 구성하고 있는 많은 학습요소들을 분석하고 이를 위계적인 관계로 조직해놓는 활동이다.

(2) 인지학습 8유형

- 신호학습→자극-반응학습→연합학습→언어적연합학습→다중식별→개념학습→원리학습→문제해결학습

4. 형태심리학 (베르트하이머)

(1) Gestalt 심리학

① 연합주의, 연결주의, 구조주의, 기능주의, 행동주의에 내포되어 있는 기계적인 모형에 반대.

② ∑부분<전체

(2) 베르트하이머의 통찰학습

① 가현운동 (phi 현상) : google에 phi phenomenon 이라고 치면 많은 자료를 볼수 있으니 직접 확인! 쉽게 설명하자면 공사장에 LED 전구가 깜빡이면 불빛이 한방향으로 진행하는 듯 보이는 현상이다.

② 지각의 법칙 : 유사성의 원리, 근접성의 원리, 폐쇄와 좋은 형태의 원리, 좋은 연속성의 원리

(3) 생산적사고

: 형태주의의 원리를 기초로 사고하면, 제시된 것들의 관계와 의미를 재구조화하여 생산적 사고를 유도할 수 있다.

(4) 수학 학습에 대한 견해

[평행사변형의 지도]
평행사변형의 넓이를 구하는 표준적인 알고리즘을 배우고 적용하여 연습문제를 훌륭하게 계산해내고 있었고 만족스러운 반응을 보였다. (여기까진 손다이크)
↓↓
윗변의 꼭지점에서 내린 수선의 발이 밑변의 바깥으로 내려지는 평행사변형 등장
↓↓
표준적인 공식을 쓰는 것이 불가 (실패) (알고리즘의 원리가 되는 구조적인 원리를 이해하지 못한 채 의미 없는 기계적 학습을 했기 때문)

이러한 과정들을 통해 학생들은 직사각형과 평행사변형이 같게 될 수 있다는 전체적인 Good Gestalt를 형성한다.

8. 연분수

Bitssam — Sat, 18 Jul 2015 21:05:36 +0900

VIII. 연분수

연분수는 실수를 나타낼 수 있는 표현으로서 간략히 다룰것이다.

1. 유한연분수

$\frac{710}{68}$을 $\bigstar +\frac { 1 }{ \bigstar +\frac { 1 }{ \ddots +\frac { 1 }{ \bigstar +\frac { 1 }{ \bigstar } } } } $의 꼴로 나타내 보자.

연분수는 몫이 별표시 부분으로 빠지고 (나머지/제수)부분이 남아 제수가 피제수가 되고 나머지가 제수가 되는 구조이다.

고로 연분수구조로 표현하기 위헤서 유클리드 호제법을 사용하여보자.

$710\; =\; 68\; \times \; \boxed { 10 } \; +\; 30\\ \quad 68\; =\; 30\; \times \; \boxed { 2 } \; +\; 8\\ \quad 30\; =\; \; 8\; \; \times \; \boxed { 3 } \; +\; 6\\ \quad \quad 8\; =\; \; 6\; \; \times \; \boxed { 1 } \; +\; 2\\ \quad \quad 6\; =\; \; 2\; \; \times \; \boxed { 3 } \; +\; 0 $

유클리드 호제법에서 얻은 몫으로 연분수를 만든다.

$\frac { 710 }{ 68 } =10+\frac { 30 }{ 68 } \\ =10+\frac { 1 }{ \frac { 68 }{ 30 } } \\ =10+\frac { 1 }{ 2+\frac { 8 }{ 30 } } \\ \vdots \\ =10+\frac { 1 }{ 2+\frac { 1 }{ 3+\frac { 1 }{ 1+\frac { 1 }{ 3 } } } } $

위와 같은 연분수를 [10, 2, 3, 1, 3] 이라고 쓰고 이러한 꼴을 유한단순연분수라고 한다. (여기서 단순이라는 것은 정수를 의미한다)

$ u_{ 0 }=[10]\\ u_{ 1 }=[10,2]\\ u_{ 2 }=[10,2,3]\\ u_{ 3 }=[10,2,3,1]\\ u_{ 4 }=[10,2,3,1,3]$

연분수의 일부를 이렇게 나타낼 수 있는데 이러한 형식을 제 $i$ 근사분수라고 한다.

유한단순연분수를 다음과 같이 정의한다.

$\left\{ a_{ i } \right\} _{ i=1 }^{ n }$ : 유한정수열 s.t. $a_{ i }\ge 1$ $(i=1,2, \cdots , n)$에 대하여

$[a_{ 0 },a_{ 1 },a_{ 2 },a_{ 3 },\cdots ,a_{ n }]:=a_{ 0 }+\frac { 1 }{ a_{ 1 }+\frac { 1 }{ \ddots +\frac { 1 }{ a_{ n-1 }+\frac { 1 }{ a_{ n } } } } } $

이러한 형태를 유한단순연분수라고 한다.

유리수는 유클리드호제법에 의하여 유한연분수의 형태로 바꿀 수 있으며 유한연분수는 유리수인것은 자명하다.

$u\; :\; 유리수\begin{matrix} 유클리드호제법 \\ \rightleftarrows \\ 자명 \end{matrix}u\; :\; 유한연분수$

2. 무한연분수

유한연분수를 무한히 연장한 꼴을 무한단순연분수라고 한다.

$\left\{ a_{ i } \right\} _{ i=1 }^{ \infty }$ : 무한정수열 s.t. $a_{ i }\ge 1$$(\forall i\ge 1)$에 대하여

$\xi \equiv [a_{ 0 },a_{ 1 },a_{ 2 },\cdots ]:=a_{ 0 }+\frac { 1 }{ a_{ 1 }+\frac { 1 }{ a_{ 2 }+\frac { 1 }{ \ddots } } } \\ :=\lim _{ n\rightarrow \infty }{ [a_{ 0 },a_{ 1 },a_{ 2 },\cdots ,a_{ n }] } $

이러한 형태를 무한단순연분수라고 한다.

무한연분수는 다음과 같이도 나타낼 수 있다,

$\xi _{ 1 }:=[a_{ 1 },a_{ 2 },a_{ 3 },\cdots ]\\ \xi _{ 2 }:=[a_{ 2 },a_{ 3 },a_{ 4 },\cdots ]\\ \vdots \\ \xi _{ i }:=[a_{ i },a_{ i+1 },a_{ i+2 },\cdots ]$ 이라 할 때

(1)$\left[ \xi \right] :=a_{ 0 },\quad \left[ \xi _{ 1 } \right] :=a_{ 1 },\quad \left[ \xi _{ 2 } \right] :=a_{ 2 },\quad \cdots $ ([ ]는 가우스 함수)

(2)$\xi =a_{ 0 }+\frac { 1 }{ \xi _{ 1 } } =:\left[ a_{ 0 },\; \xi _{ 1 } \right] \\ \vdots \\ \xi =a_{ 0 }+\frac { 1 }{ a_{ 1 }+\frac { 1 }{ \ddots +\frac { 1 }{ a_{ i-1 }+\frac { 1 }{ \xi _{ i } } } } } =:\left[ a_{ 0 },\; a_{ 1 },\; \cdots ,\; a_{ i-1 },\; \xi _{ i } \right] $

무한연분수는 유한연분수와 달리 표현이 유일하다는 특징을 가지고 있다. 또한 무한연분수는 무리수의 한 형태라는 것이 알려져 있다. 즉, 무리수는 무한연분수의 꼴로 나타낼 수 있고 무한연분수는 무리수이다.

특히 순환연분수는 $u+v\sqrt { d } $ 꼴의 이차무리수의 형태로 나타난다.

7. 방정식의 풀이 (종합편)

Bitssam — Sat, 18 Jul 2015 20:59:14 +0900

VII.방정식의 풀이

정수론은 정수계수정수방정식(디오판토스방정식)의 해법을 탐구하는 분야이다.

일차디오판토스 방정식은 최대공약수가 일차결합으로 표현된다는 사실을 통해 해를 구할 수 있었다.

그러나 모든 디오판토스 방정식의 해를 직접 구하기는 쉽지 않다. 그러므로 수학자들은 합동방정식이라는 방법을 생각해내었다.

그것은 바로 수의 범위를 유한개로 제한 하는 것이었고 수의 범위를 줄이는 방법으로 '~을 법으로 하는' 동치류들을 생각하는 방식을 생각해내었는데 이것을 통하여 Z에서의 연산을 Zp의 연산으로 끌어옴으로서 좀 더 쉽게(물론 상대적으로 쉽게) 해에 대한 접근을 할 수 있었다.

그런데 소수를 법으로 하는 다항합동방정식만 있는 것은 아니다. 그러므로 합성수를 법으로 하는 다항합동식은 먼저 합성수를 표준분해 한 후 표준분해한 각 소수에 대한 합동방정식을 풀어내어 연립하는 방법을 채택하게 된다. 이러한 풀이를 가능하게 해준 것은 바로 중국인의 나머지정리이다.

이제 남은 것은 소수를 법으로 한 복잡한 합동방정식을 간단하게 하는 문제이다. 단순히 차수가 큰 경우에는 주로 페르마의 소정리나 오일러정리를 통해 차수를 낮추거나 여의치 않은 경우에는 이산로그를 활용하기도 한다. 그러나 법으로 하는 소수자체가 큰 경우도 있다. 그러한 경우엔 일차합동방정식의 경우 유클리드 호제법을 통해 역원을 구해내는 방법이 주요하지만 2차에선 르장드르기호나 야코비기호의 이차상반법칙을 이용하여 간단히 만들어 해의 존재성을 예측해볼 수는 있다.

1. 일차부정방정식(일차디오판토스방정식)

$mZ+nZ=(m,n)Z$라는 것을 이용하여 일차부정방정식의 해를 구할 수 있다.

$mx+ny=c$라는 방정식이 정수해를 갖는지 알아보려면 c가 (m,n)Z의 원소인지만 알면 충분하다. 만약 원소가 아니라면 이는 m,n의 일차결합으로 c를 만들어낼 수 없으므로 해가 없는 것이다. 이를 아는 방법은 간단하다 (m,n)|c 인지만 살펴보면 된다.

만약 해가 존재한다면 유클리드 호제법을 이용한 역순전개로 $mx+ny=(m,n)$을 만족하는 x,y를 찾을 수 있고 양변을 적절히 곱하면 $mx+ny=c$를 만족하는 x,y도 찾을 수 있다. 그렇다면 특수해는 구해진 것이다.

마지막으로 일반해를 구한다. 일반해를 구하는 공식은 $x=x_0+\frac{n}{d}k$, $y=y_0-\frac{m}{d}k$ 이다.

2. 일차합동방정식

$ax \equiv b$ (mod m) 형식의 일차합동방정식은 a의 역원이 있어서 계수a를 약분할 수 있다면 해를 구할 수 있고 해가 존재한다. 즉 a의 역원이 존재하고 역원이 존재하려면 (a, m)=1이어야 한다. a의 역원을 찾는 방법은 유클리드 호제법의 역순전개를 쓰는 방법이다. 만약 (a, m)=1이 아니라면 식을 적절히 약분 할 수 있으면 계수와 법이 서로소가 되도록 약분해주고 나중에 약분된 법을 다시 돌려놓으면 된다.(물론 돌려놓는 방법이 있다.) 만약 약분이 안된다면 해가 없다.

약분된 법을 다시 돌려놓는 방법은 $x \equiv c$ (mod m) $\Rightarrow$ $x \equiv c+tm$ (mod nm) (0<t<n) 공식을 활용하면 된다.

3. 중국인의 나머지정리

일차부정방정식의 해는 최대공약수의 성질로 구했지만 아직도 수 많은 형식의 방정식을 풀 수 없다. 이제 디오판토스 방정식을 합동방정식으로 변환하여 계산하는 것을 소개하고자 한다. 합동방정식으로 변환하여 계산하는 이점을 보기 위해서는 법을 소수로 바꿔주는 것이 좋다. 이 때 중국인의 나머지정리가 제 역할을 한다.

$m_{ 1 },\, \cdots ,\, m_{ n }$ : 쌍마다 서로소, $c_{ 1 },\, \cdots ,\, c_{ n } \in Z$ 일 때,

연립합동방정식 $\begin{cases} x\equiv c_{ 1 }\; (mod\; m_{ 1 }) \\ \vdots \\ x\equiv c_{ n }\; (mod\; m_{ n }) \end{cases}$ 는 정수해를 갖고 mod $m_{ 1 } \cdots m_{ n }$에 대하여 유일하다.

위 정리의 powerful함을 직접 예시를 하나 들어 살펴보자.

$\begin{cases} x\equiv c_{ 1 }\; (mod\; m_{ 1 }) \\ x\equiv c_{ 2 }\; (mod\; m_{ 2 }) \end{cases}$를 풀어보자.

우선 $x_1 \equiv c_{ 1 }\; (mod\; m_{ 1 })$을 만족하는 $x_1$과 $x_2 \equiv c_{ 2 }\; (mod\; m_{ 2 })$을 만족하는 $x_2$를 만들어보자.

$x_{ 1 }=c_{ 1 }\cdot m_{ 2 }^{ * }\cdot m_{ 2 }\begin{cases} \equiv c_{ 1 }\; (mod\; m_{ 1 }) \\ \equiv 0\; (mod\; m_{ 2 }) \end{cases}$

$x_{ 2 }=c_{ 2 }\cdot m_{ 1 }^{ * }\cdot m_{ 1 }\begin{cases} \equiv 0\; (mod\; m_{ 1 }) \\ \equiv c_{ 2 }\; (mod\; m_{ 2 }) \end{cases}$

위 $x_1,x_2$는 $x_{ 1 }\equiv c_{ 1 }\; (mod\; m_{ 1 })$과 $x_{ 2 }\equiv c_{ 2 }\; (mod\; m_{ 2 })$를 각각 만족하면서 다른 법에 대해서는 0이 되도록 세팅이 되었다. 이제 이 둘을 더하면

$x=x_{ 1 }+x_{ 2 }\begin{cases} \equiv c_{ 1 }+0\equiv c_{ 1 }\; (mod\; m_{ 1 }) \\ \equiv 0+c_{ 2 }\equiv c_{ 2 }\; (mod\; m_{ 2 }) \end{cases}$

이제 만족하는 x를 제시하면 된다.

$x\equiv x_{ 1 }+x_{ 2 }\;(mod \;m_1m_2)$

이와 같이 중국인의 나머지정리를 통해 법을 쪼개서 계산이 가능하다. 이때 해의 개수는 매칭되는 모든 경우의 수가 된다. (이 말이 무엇인지는 몇문제 풀다보면 안다.)

4. 이항합동식

$ax^n \equiv b$ (mod m)의 형식의 2개의 항으로 이루어진 합동식을 이항합동식이라고 한다. 이를 도입하기 이전에 하나의 정리를 보고자 한다. 라그랑지가 정수론분야에 남긴 정리이다.

p : 소수일 때

$f(x)=a_{ n }x^{ n }+\cdots +a_{ 1 }x+a_{ 0 }\equiv 0 $ (mod p), $a_n \not\equiv 0$ (mod p)에 대하여

(1) $f(x)\equiv 0$ (mod p) : n개 이하의 정수해를 갖는다.

(2) $f(x)\equiv 0$ (mod p)이 n개의 해 $c_{ 1 },\, \cdots ,\, c_{ n }$을 가지면 $f(x)\equiv a_{ n }(x-c_{ 1 })\, \cdots (x-c_{ n })$ (mod p)

그렇다면 우리가 페르마 소정리에서 익히 보던 식들을 다음과 같이 표현할 수도 있다.

$x^{ p }-x=x(x-1)\cdots (x-(p-1)) $ (mod p)

$x^{ p-1 }-1=(x-1)\cdots (x-(p-1))$ (mod p)

두번째 식에서 x=0을 넣어 약간만 정리하면 윌슨의 정리를 얻을 수 있다.

n : 소수 ⇔ (n-1)!$\equiv$-1 (mod n)

$x^{ \frac { p-1 }{ 2 } }\equiv 1$ (mod p)와 $x^{ \frac { p-1 }{ 2 } }\equiv -1$ (mod p)이라는 합동식을 탐구해보자.

라그랑지 정리에 의해 두 방정식 모두 $\frac { p-1 }{ 2 } $ 가지의 해를 가지고 있어야 하며 첫번째 식의 해는 제곱수의 형식이다. 그러므로 $\pm$1부터 $\pm \frac { p-1 }{ 2 } $ 까지의 정수를 제곱한 제곱수인 이차잉여류가 첫번째 식의 해가 될 것이고 나머지는 두번째 식의 해가 될 것이다.

5. 이차합동식

이차합동식이 만약 $x^2 \equiv d$ 와 같은 간단한 형식이면 우리는 이차잉여인 것을 찾으면 된다. 그러나 일반 $ax^2+bx+c \equiv 0$과 같은 형식이면 어떻게 해의 존재성을 알 수 있을지 생각해보자.

$ax^{ 2 }+bx+c\equiv 0 $ (mod p)

$\Leftrightarrow x^{ 2 }+a^{ * }bx+a^{ * }c\equiv 0$ (mod p)

$\Leftrightarrow x^{ 2 }+a^{ * }bx+(2^{ * }a^{ * }b)^{ 2 }\equiv (2^{ * }a^{ * }b)^{ 2 }-a^{ * }c$(modp)

$\Leftrightarrow (x+2^{ * }a^{ * }b)^{ 2 }\equiv (2^{ * }a^{ * }b)^{ 2 }-a^{ * }c\equiv (2^{ * }a^{ * })^{ 2 }(b^{ 2 }-4ac)$(modp)

여기서 해가 존재하기 위해선 $b^{ 2 }-4ac$가 제곱수가 되어야 한다. $b^{ 2 }-4ac$ 를 $D$라고 하고 이를 판별식이라고 하자.

결국 이런 형식의 합동방정식이 정수해를 갖는다는 것은 판별식 $D$가 제곱수라는 것이고 이것은 $D$가 법p에 대한 이차잉여라는 것을 의미한다.

결과로서 알아두면 좋은 것이 있어 소개한다.

소수 p가 $p \equiv 3$ (mod 4) , $a \equiv 0$ (mod p) 일 때

$\exists x \in Z \; s.t. \; x^2 \equiv a$ (mod p) $\Rightarrow$ $x^2 \equiv a$ (mod p)의 해 : $x \equiv \pm a^{\frac{p+1}{4}}$ (mod p)

6. 이차잉여 (르장드르기호, 야코비기호)

Bitssam — Sat, 18 Jul 2015 17:52:38 +0900

VI. 이차잉여

이제 방정식을 풀기전 하나의 관문을 남겨두고 있다. 본 포스팅의 구성상 방정식의 풀이를 한꺼번에 다루기로 한 바 배경이 되는 개념을 먼저 제시한 후 종합적으로 방정식의 풀이를 제시할 것이다.

이차잉여란 수가 제곱수인지 판별한다. 이는 이차합동방정식을 푸는데 필요한 개념이다. 실수계에서야 제곱을 그저 제곱근을 통해 역연산하면 그만이었지만. 정수방정식에서는 역연산이 안되는 경우가 더 많다. 그래서 제곱을 풀어주기전 이것이 제곱수인지를 체크하게 되는데 제곱수이면 이 수를 이차잉여라고 한다. 즉, 이차잉여이면 제곱은 풀릴 수 있으며 이차방정식의 풀이가 가능하다는 것이다. 이 장에서는 이차잉여와 이를 나타내는 기호인 르장드르기호, 야코비기호에 대해 알아볼 것이다.

1. 이차잉여

위에서 설명하였듯이 이차잉여란 수가 제곱수여서 제곱이 풀리는 것을 의미한다. 그렇지 않으면 이차비잉여이다.

$m \ge 3$ , $a \in U(Z_m)$ 일 때

(1) d : 법 m에 관한 이차잉여

$\Leftrightarrow \exists x \in Z\;s.t.\;{x^2} \equiv d$ (mod m)

(2) d : 법 m에 관한 이차비잉여

$\Leftrightarrow \nexists x \in Z\;s.t.\;{x^2} \equiv d$ (mod m)

2. 르장드르 기호

페르마의 소정리를 살펴보면서 다음과 같은 정리를 보았을 것이다.

p : 홀수인 소수 , (a, p)=1일 때

${a^{\frac{{p - 1}}{2}}} \equiv 1$ , ${a^{\frac{{p + 1}}{2}}} \equiv - 1$ (mod p)중 꼭 하나만 만족한다.

왜냐하면 $0 \equiv {a^{p-1}} - 1 \equiv ({a^{\frac{{p - 1}}{2}}} - 1 ) ({a^{\frac{{p - 1}}{2}}} + 1 )$ (mod p)이므로

${a^{\frac{{p - 1}}{2}}} \equiv \pm 1$ (mod p)이 성립하나 $1 \equiv - 1$ (mod p)이려면 p|2 인데 이는 모순이다.

위 정리에 따르면 $a^{\frac{p-1}{2}}$ 꼴의 수는 1 또는 -1과 합동이라는 것이다. 그렇다면 이차잉여인 수와 이차 비잉여인 수는 이러한 꼴에 대입하였을 때 1이 되는지 -1이 되는지 알아보자.

이차잉여인 수는 어떤수의 제곱꼴이다. 이를 $d \equiv a^2$이라 표현해보자. 그렇다면

$d^{\frac{p-1}{2}} \equiv a^{p-1} \equiv 1$

반대로 이차비잉여인 수는 어떤 수의 제곱꼴이 아니므로 -1이 된다. 이를 정리하면 다음과 같다.

$p \ge 3$인 소수 p에 대하여

$a^{ \frac {{ p-1 } }{ 2 }}\equiv \begin{cases} 1\quad (mod\; p)\quad (a:\; 법\; p에\; 관한\; 이차잉여) \\ -1\quad (mod\; p)\quad (a:\; 법\; p에\; 관한\; 이차비잉여) \end{cases}$

=: $\left( \frac { a }{ p } \right)$ (르장드르 기호)

르장드르기호의 기본적인 연산은 다음과 같다.

$p:\; 홀수인\; 소수,\quad a \not\equiv 0\quad (mod\; p),\quad b \not\equiv 0\quad (mod\; p)$에 대하여

(1) $\left( \frac { a^{ 2 } }{ p } \right) =1, \quad \left( \frac { 1 }{ p } \right) =1 $ (제곱수는 반드시 이차잉여)

(2) $a\equiv b\; (mod\; p)\Rightarrow \left( \frac { a }{ p } \right) =\left( \frac { b }{ p } \right)$ (합동인수는 반드시 르장드르 기호값이 같다)

(3) $\left( \frac { ab }{ p } \right) =\left( \frac { a }{ p } \right) \left( \frac { b }{ p } \right) , \quad \left( \frac { -a }{ p } \right) =\left( \frac { -1 }{ p } \right) \left( \frac { a }{ p } \right)$ (곱셈은 분모는 두고 분자만 곱하면 된다.)

(4) $\left( \frac { 1 }{ p } \right) +\left( \frac { 2 }{ p } \right) +\cdots +\left( \frac { p-1 }{ p } \right) =0$ (1부터 p-1까지의 이차잉여의 개수, 이차비잉여의 개수가 같으므로)

르장드르기호 중 a=-1, 2에 대한 연산은 결과값으로 알려져 있다.

(1) $\left( \frac { -1 }{ p } \right) =(-1)^{ { \frac { p-1 }{ 2 } } }=\begin{cases} 1\quad \quad \quad \quad p\equiv 1\; (mod\; 4) \\ -1\quad \quad \quad p\equiv 3\; (mod\; 4) \end{cases}$

(2) $\left( \frac { 2 }{ p } \right) =(-1)^{ { \frac { p^{ 2 }-1 }{ 8 } } }=\begin{cases} 1\quad \quad \quad \quad p\equiv \pm 1\; (mod\; 8) \\ -1\quad \quad \quad p\equiv \pm 3\; (mod\; 8) \end{cases}$

르장드르기호의 분모분자가 바뀌면 어떻게 될까? 이에 대한 법칙이 이차상반법칙(이차상호법칙)이다.

$\left( \frac { q }{ p } \right) =\left( \frac { p }{ q } \right) (-1)^{ { { \frac { p-1 }{ 2 } }\cdot \frac { q-1 }{ 2 } } }=\begin{cases} -\left( \frac { p }{ q } \right) \quad \quad p\equiv q\equiv 3\; (mod\; 4) \\ \left( \frac { p }{ q } \right) \quad \quad \quad 그외의\; 경우 \end{cases}$

3. 야코비 기호

야코비 기호는 르장드르기호를 일반화하여 소수분모를 홀수분모로 확장하여 적용한 기호이다.

$P=p_{ 1 }^{ e_{ 1 } }\cdots p_{ r }^{ e_{ r } }$ : 3이상의 홀수 p의 표준분해, $a \in U(Z_p)$일 때,

$\left( \frac { a }{ P } \right) :=\left( \frac { a }{ p_{ 1 } } \right) ^{ e_{ 1 } }\cdots \left( \frac { a }{ p_{ r } } \right) ^{ e_{ r } }$ (a의 야코비 기호)

야코비기호와 르장드르기호의 연산법은 같다. (위에 있는 것 전부 적용 됨)

5. 원시근과 이산로그

Bitssam — Sat, 18 Jul 2015 09:58:19 +0900

V. 원시근과 이산로그

$${x^9} = 5$$

위 식의 해를 어떻게 표시할 것 인가?

이와 같이 고차의 방정식을 푼다는 것은 쉽지 않다. 이와 같이 고차의 수를 어떻게 다룰지에 대한 고민은 로그의 발명으로 이어졌다. 로그는 다음과 같이 아주 간단하게 결과를 제시해 준다.

${x^9} = 5$

$\Leftrightarrow {\log _2}{x^9} = {\log _2}5$

$\Leftrightarrow 9{\log _2}x = {\log _2}5$

$\Leftrightarrow {\log _2}x = \frac{1}{9}{\log _2}5$

$\Leftrightarrow x = {2^{\frac{1}{9}{{\log }_2}5}}$

이를 합동식에도 적용할수는 없는가? 당연히 가능하다. 합동식에서의 로그를 이산로그라고한다. 그러나 이산로그를 정의하기 위해서는 이산로그의 존재조건을 명확히 해주어야 한다. 실함수에서는 로그의 존재조건은 밑조건 ($a>0, a \ne 1$)이었다. 이와 상응하듯이 합동식에서도 이산로그의 존재조건이 있는데 이를 원시근이라고 한다. 이제 좀 더 자세히 알아보도록 하자.

1. 위수

${a^k} \equiv 1$ 인 정수 k는 존재하는가? 우리는 (a, m)=1이라면 k가 반드시 존재함을 오일러정리를 통하여 알아보았다.

$${a^{\phi (m)}} \equiv 1 \; (mod \; m)$$

${a^k} \equiv 1$ 인 정수 k 중 가장 작은 값이 반드시 $\phi (m)$인 것은 아니다. 예를들어, m=7 , a=2에 대해서 k의 최솟값은 3이고 $\phi (m) = 7 - 1 = 6$이다. 우리는 k의 최솟값을 법 m에 관한 a의 위수로정의할것이다.

$m \ge 2$일 때, $a \in U(Z_m)$에 대하여

${{\mathop{\rm ord}\nolimits} _m}a: = \left| { < a > } \right|$

$= \min \left\{ {r \in {Z^ + }| \, {a^r} \equiv 1 \, (mod \; m)} \right\}$

물론 서로 합동인 수에 대하여 위수도 같다. 그리고 1과 합동인 수의 위수는 1이다. 모두 정의에 근거한 정리이다.

그 외에도 위수의 성질로 몇가지를 더 들 수 있는데 이들 모두도 충분히 예상할 수 있는 결과이다.

${{\mathop{\rm ord}\nolimits} _m}a = r$에 대하여

(1) ${a^k} \equiv 1 \Leftrightarrow r|k$

(2) $r | \phi (m)$

(3) ${a^k} \equiv {a^l} \; (mod \; m) \Leftrightarrow k \equiv l \; (mod \; r)$

(4) $\left\{ {{a^1}, \; {a^2}, \; \cdots , \; {a^r}} \right\}$의 두 원소는 법 m에 대하여 합동이 아니다.

거듭제곱의 위수는 다음 정리를 통해 쉽게 계산가능하다.

${{\mathop{\rm ord}\nolimits} _m}a = r$에 대하여

(1)${{\mathop{\rm ord}\nolimits} _m}{a^k} = \frac{r}{{(k,r)}}$ (거듭제곱의 위수는 지수와 법의 최대공약수를 나눈것이다.)

(2)${{\mathop{\rm ord}\nolimits} _m}{a^k} = r \Leftrightarrow (k,r)=1$

(3)$\left\{ {{a^1}, \; {a^2}, \; \cdots , \; {a^r}} \right\}$에서 위수가 r인 원소의 개수 = $\phi (r)$

(1)이 성립하는 이유는 구하고자 하는 위수를 $l$ 이라고 했을 때, ${({a^k})^l} \equiv 1$ (mod m)이 되어야 하므로 $kl \equiv 0$ (mod r)이 된다. 여기서 k를 약분하면 $l \equiv 0$ (mod $\frac{r}{{(k,r)}}$)이 된다.

(2)와 (3)은 (1)에 의해서 자명한 사실이다.

또한 두 수의 곱의 위수에 대해서는 다음과 같은 정리가 존재한다.

$m \ge 2$, $a,b \in U({Z_m})$ 일 때,

${{\mathop{\rm ord}\nolimits} _m}a = r$

${{\mathop{\rm ord}\nolimits} _m}b = s$

(1) $(r,s)=1 \Rightarrow {{\mathop{\rm ord}\nolimits} _m}ab = rs$

(2) $ab \equiv 1$ (mod m) $\Rightarrow r=s$ (역원끼리는 위수가 같다)

참고로 밑을 곱해버리면 위수는 각각의 곱하기전 위수의 최소공배수가 된다. (법 m,n에 대해서 각각 거듭제곱이 모두 1이 되려면 최소공배수만큼 제곱되어야 한다는 사실은 자명하다.)

2. 원시근

필요한 위수에 대한 개념을 채웠으니 이산로그의 정의에 필요한 원시근이라는 조건에 대해 알아보자. 원시근이란 기약잉여계의 원소중에 위수가 기약잉여계의 위수와 같은 것들을 말한다. 원시근은 기약잉여계를 생성한다.

$m \ge 2$, $a,b \in U({Z_m})$ 일 때,

a : 법 m에 관한 원시근

$\Leftrightarrow {{\mathop{\rm ord}\nolimits} _m}a = \phi (m)$

$\Leftrightarrow <a> = U(Z_m)$

이러한 원시근의 정의에 의해 자명한 몇가지 성질들이 있다.

(1) 원시근의 거듭제곱이 1이라면 그 지수는 반드시 $\phi (m)$의 배수다. (기약잉여계의 위수가 위수이므로)

(2) 원시근의 거듭게곱이 만약 같다면 지수끼리 $\phi (m)$을 법으로 합동이다. ((1)과 똑같은 이유이다.)

(3) 원시근은 기약잉여계를 생성한다 (거듭제곱들이 기약잉여계의 원소)

(4) 원시근의 거듭제곱의 위수는 $\frac{\phi (m)}{{(k, \phi (m) )}}$ 이다. (거듭제곱의 위수의 성질에 따라)

(5) 원시근의 거듭제곱이 원시근인것은 $(k, \phi (m))=1$ 과 동치이다.

(6) 원시근의 개수를 따지면 $\phi ( \phi (m) )$ 이다. (기약잉여계의 위수와 서로소인 원소의 모임)

이제 원시근과 관련된 중요한 결과를 소개해야 할 것이다. 결과를 기억하자.

법m에 관한 원시근이 존재할 조건은 법m이 $2, 4, p^k, 2p^k$ 인 경우밖에 없다.

3. 이산로그

위수와 원시근을 정의하였으니 드디어 이산로그를 정의할 수 있게 되었다.

이산로그란 합동식에서의 로그로서 다음과 같이 정의한다.

${{\mathop{\rm ind}\nolimits} _r}:U({Z_m}) \to Z, \; {{\mathop{\rm ind}\nolimits} _r}x = y \Leftrightarrow {r^y} \equiv x$ (mod m)

이산로그라는 함수가 잘 정의되기 위해서는 정의역이 기약잉여계이기 때문에 밑이 원시근이어야 원시근의 거듭제곱이 기약잉여계가 되므로 원시근이 밑이 될 수 밖에 없다. 즉, 원시근은 이산로그의 밑조건이 된다.

종합해보면 이산로그를 좀 더 깔끔하게 정의할 수 있다.

g : 법 m에 관한 원시근일 때

${{\mathop{\rm ind}\nolimits} _g}:U({Z_m}) \to Z$

${{\mathop{\rm ind}\nolimits} _g}a$ = min{$y \in Z_0^+ | g^y \equiv a$ (mod m)}

이산로그의 연산도 실함수로그의 연산과 같다. 다만 $\phi (m)$을 법으로 같다.

다만 1이 아닌 역원의 이산로그를 서로 더하면 그 값은 $\phi (m)$이다. 그 이유는 $\phi (m)$를 법으로 하지만 둘다 0보다 크기 때문에 더해서 0은 아니고 2$\phi (m)$을 넘지는 않을것이기 때문이다.

이산로그에서도 원시근의 동치조건을 발견할 수 있다. 원시근의 거듭제곱이 원시근인것은 $(k, \phi (m))=1$ 과 동치이다. 라는 정리에서 k를 이산로그로 표현해주면 된다. $h=g^k$로 두면 k를 g를 밑으로 하는 이산로그로 표현할 수 있으므로 다음과 같은 정리를 얻는다.

기약잉여계의 원소 h가 원시근인것은 $({{\mathop{\rm ind}\nolimits} _g}h, \phi (m))=1$ 과 동치이다.

밑변환공식도 실함수로그와 비슷하다.

${{\mathop{\rm ind}\nolimits} _h}a \equiv {{\mathop{\rm ind}\nolimits} _h}g \cdot {{\mathop{\rm ind}\nolimits} _g}a$ (mod $\phi$(m))

${{\mathop{\rm ind}\nolimits} _h}g \cdot {{\mathop{\rm ind}\nolimits} _g}h \equiv {{\mathop{\rm ind}\nolimits} _h}h \equiv 1$ (mod $\phi$(m))

$gh \equiv 1$ (mod m) $ \Rightarrow {{\mathop{\rm ind}\nolimits} _g}a + {{\mathop{\rm ind}\nolimits} _h}a = \phi (m)$

4. 페르마소정리, 오일러정리

Bitssam — Sat, 18 Jul 2015 07:57:36 +0900

IV.페르마소정리, 오일러정리

1. 페르마소정리

페르마소정리는 소수p를 법으로 하는 합동식에 관하여 거듭제곱을 간단히 할 수 있는 정리이다.

소수 p, $a \in Z$에 대하여

(1) ${a^p} \equiv a$ (mod p)

(2) 특히 (a, p)=1이면 a를 약분하여 ${a^{p-1}} \equiv 1$ (mod p)

수학적귀납법과 신입생의지수법칙을 이용해서 증명할 수 있으나 생략한다.

<신입생의 지수법칙>

소수 p , $a,b \in Z$에 대하여

${(a+b)^p} \equiv {a^p} + {b^p}$

페르마 소정리에 의하여 이러한 결과도 도출된다.

p : 홀수인 소수 , (a, p)=1일 때

${a^{\frac{{p - 1}}{2}}} \equiv 1$ , ${a^{\frac{{p + 1}}{2}}} \equiv - 1$ (mod p)중 꼭 하나만 만족한다.

왜냐하면 $0 \equiv {a^{p-1}} - 1 \equiv ({a^{\frac{{p - 1}}{2}}} - 1 ) ({a^{\frac{{p + 1}}{2}}} - 1 )$ (mod p)이므로

${a^{\frac{{p - 1}}{2}}} \equiv \pm 1$ (mod p)이 성립하나 $1 \equiv - 1$ (mod p)이려면 p|2 인데 이는 모순이다.

2. 오일러 $\phi$ 함수

Euler $\phi$ 함수는 곱셈함수로서 다음과 같이 정의되는 함수이다.

$\phi : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \;,\;\phi (m) = \left| {U({Z_m})} \right|$

=1에서 m까지의 m과 서로소인 정수의 개수

Euler $\phi$ 함수의 계산방법은 다음과 같다.

소수p, $k \ge 1$에 대하여

$\phi ({p^k}) = {p^k} - {p^{k - 1}}$

$\phi (p) = p - 1$

이 계산법을 통하여 가우스 정리의 결과가 도출된다.

$\sum\limits_{0 < d|m} {\phi (d) = m}$

3. 오일러정리

오일러정리는 임의의 수 m을 법으로 하는 합동식에 관하여 거듭제곱을 간단하게 할 수 있는 정리이다.

$m \ge 2$ , (a, m)=1 에 대하여

${a^{\phi (m)}} \equiv 1$ (mod m)

3. 합동식

Bitssam — Sat, 18 Jul 2015 00:10:01 +0900

III. 합동식

1. 합동

합동이란 Z상의 동치관계로서 다음과 같이 정의한다.

$m \in {Z^+}$에 대하여

$a \equiv b$ (mod m) $ \Leftrightarrow m|a - b$

이는 반사, 대칭, 추이조건을 만족하므로 동치관계이다 (증명은 생략한다.)

합동의 연산의 법칙에 대해서 알아보자.

법 m에 대하여 $a \equiv b$ (mod m), $c \equiv d$ (mod m) 일 때,

(1) $a \pm c \equiv b \pm d$ (mod m) , $ac \equiv bd$ (mod m)

(2) $a \pm c \equiv b \pm c$ (mod m) , $ac \equiv bc$ (mod m)

(3) $a \equiv b \Rightarrow {a^n} \equiv {b^n}$

일반 정수 방정식과 비슷하나 약분할 때는 서로소라는 조건이 필요하다. 서로소가 아니면 합동의 법이 달라진다.

$m \in {Z^+}$ , $a, b, c \in Z$ 일 때

(1) $(a, m) = 1$ 일 때, $ab \equiv 0$ (mod m) $\Leftrightarrow b \equiv 0$ (mod m)

(2) $(a, m) = 1$ 일 때, $ab \equiv ac$ (mod m) $\Leftrightarrow b \equiv c$ (mod m)

(3) $(a, m) = d$ 일 때, $ab \equiv ac$ (mod m) $\Leftrightarrow b \equiv c$ (mod m/d)

역수가 합동식에서도 존재하나 서로소라는 조건이 필요하다. 결국 약분과 깊은 관련이 있다.

$m \in Z$에 대하여

$(a, m) = 1 \Leftrightarrow \exists {a^*} : 법 \; m에 \; 관한 \; a의 \; 역수$

2. 합동식의 활용

합동식의 활용의 한 예로 나머지 구하기를 해보자.

k=1234에 대하여 k를 3으로 나눈 나머지를 구하시오

[풀이]

$k = 1 \times {10^3} + 2 \times {10^2} + 3 \times {10^1} + 4 \times {10^0}$

$\equiv 1 \times {1^3} + 2 \times {1^2} + 3 \times {1^1} + 4 \times {1^0} \equiv 1$ (mod 3)

3. 잉여류와 완전잉여계

법 $m \in Z$ 에 관하여

완전잉여계는 서로 다른 m개 정수로서 법 m에 대해 합동이 아닌 것의 모임이다.

표준잉여게는 완전잉여계중에 {0,1 $\cdots$ , m-1}을 말한다.

기약잉여계는 서로 합동이 아닌 정수로서 m과 서로소인 것들의 모임이다.

2. 소수와 소인수분해

Bitssam — Fri, 17 Jul 2015 18:21:25 +0900

II. 소수와 소인수분해

1. 소수

소수란 더 이상 분해되지 않는 수로서 수를 형성하는 근원이다.

n∈Z에 대하여

(1) n : 소수 ⇔ (i) n>1 (1이상의)

(ii) 0< k|n ⇒ k=1 or k=n (더 이상 쪼개지지 않는 수)

(2) n : 합성수 ⇔ (i) n>1

(ii) ∃k,l ∈Z s.t. n=kl, 1 <k ≤l <n

소수는 어떤 수를 나누지 않으면 서로소인 성질이 있다.

p∤a ⇔ (a, p)≠p ⇔ (a, p)=1 ⇔ (a, p^n)=1

여러가지 성질이 있겠지만 생략한다.

소수의 판정법은 에라토스테네스의 체 라는 개념을 통해 설명한다. 간단히 말하자면 제곱근보다 작은 소수들을 직접 나눠서 알아보는 것이다. 이를 간단히 표현하면 다음과 같다.

1<n 에 대하여

n≠소수 ⇔ ∃p : 소수 s.t. p|n, p≤[√n]

그렇지 않으면 소수

그외에도 소수는 무수히 많다라는 사실도 증명이 가능하다. 방법은 유한개의 소수가 있다고 가정하고 모두 곱한후 1을 더하면 그 어떤소수도 나눌 수 없는 수가 나오게 되는데 이는 가정에 모순임을 밝히면 된다.

2. 소인수분해와 표준분해

소인수분해는 전편에서 언급하였던 정수가 유일인수분해정역이라는 것과 연관있다.

유일인수분해정역의 정의에 따라 모든 정수는 인수분해를 유일하게 가지며 소수의 곱으로 표현된다 이를 소인수분해라고 한다.

이때, 서로 다른 소수들을 나누어 인수분해하고 이를 표준분해라고 한다.

3. 페르마소수와 메르센소수

(물론 역은 성립하지 않는다.)

위 두 사실을 통해 우리는 2가지 형태의 수를 정의한다.

전자와 같은 형식의 수를 페르마수 라고 한다.

후자와 같은 형식의 수를 메르센수 라고 한다.

페르마 수가 소수일 때 이를 페르마소수라고 한다.

메르센 수가 소수일 때 이를 메르센소수라고 한다.

페르마수와 메르센수과 관련된 몇가지 정리를 소개하고자 한다.

<페르마수와 관련된 정리>

$m,n \ge 1$ 에 대하여

(1) ${F_0}{F_1} \cdots {F_{n - 1}} = {F_n} - 2$

(2) $m \ne n \Leftrightarrow ({F_m},{F_n}) = 1$

(페르마수끼리는 서로소이다.)

<메르센수와 관련된 정리>

$a \ge 2$, $m,n \ge 1$에 대하여

(1) $n|m \Rightarrow {2^n} - 1|{2^m} - 1$ (지수를 나누면 메르센수도 나눈다.)

(2) $({2^m} - 1,{2^n} - 1) = {2^{(m,n)}} - 1$

(3) $(m,n) = 1 \Leftrightarrow ({M_m},{M_n}) = 1$ (지수끼리 서로소이면 메르센수도 서로소이다.)

(1), (2)는 물론 꼭 밑이 2가 아니어도 성립하나 이렇게 적겠다.

4. 양의 약수의 개수와 합

양의 약수의 개수와 합을 구하는 방법은 우리가 익히 알고 있는 방법을 통해 구하면 된다.

양의 약수의 개수를 구하는 방법은 표준분해를 하고 지수에 1씩을 더해서 서로 곱하면 된다.

양의 약수의 합을 구하는 방법은 표준분해를 하고 0승부터 n승까지 더해서 더한것을 곱해서 (분배법칙) 구한다.

1. 정수의 성질

Bitssam — Fri, 17 Jul 2015 12:49:15 +0900

I. 정수의 성질

1. 정수의 기본성질

정수는 정역이라는 대수적 구조를 가지고 있다.

정역이란 단위원을 가진 가환환으로서 영인자가 없는 환을 의미한다.

또한 정수는 정역보다 좀 더 강력한 조건을 가지고 있다.

1. UFD (유일인수분해정역) : (소)인수분해가 존재하고 유일하다. (위 성질은 2장에서 다루도록한다.)

2. ED (유클리드정역) : 유클리드 호제법이 가능하다.

우리는 현재 2번에 좀 더 관심을 기울여보자.

유클리드 호제법이 가능하다는 것은 정수를 나누었을 때 몫과 나머지를 구할 수 있다는 것이다.

그 꼴은 다음과 같은 꼴로 나타내어진다

A=BQ+R (R=0 또는 R<B)

2. 약수와 배수

어떤 수 a가 있을 때 a의 약수란 a를 나누는 수를 의미한다. a의 배수란 a에 의해 나누어떨어지는 수를 의미한다.

앞으로 이것을 기호로 표시하겠다.

a, b ∈ Z에 대하여

a|b ⇔ ∃c∈Z s.t. b=ac

⇔ b : a의 배수

⇔ a : b의 약수

위 기호의 성질에 대해서 자명한 성질을 굳이 다루지 않도록 하겠다.

3. 최대공약수와 최소공배수

어떤 수 e가 존재하여서 a와 b를 모두 나눈다면 e를 a,b의 공약수라고 한다.

반대로 어떤 수 c가 존재하여서 a,b가 모두 c를 나눈다면 c를 a,b의 공배수라고 한다.

최대공약수란 공약수 중에서 가장 큰 수로 만약 어떤 공약수가 존재한다면 반드시 최대공약수를 나누게 되어있다.

최소공배수란 공배수 중에서 가장 작은 수로 만약 어떤 공배수가 존재한다면 반드시 최소공배수의 배수가 된다.

이를 기호로 나타내어 보겠다.

a, b ∈ Z에 대하여

d=(a,b) ⇔ (i) d≥0

(ii) d|a , d|b (공약수)

(iii) e|a , e|b ⇒ e|d (최대)

l=[a,b] ⇔ (i) l≥0

(ii) a|l , b|l (공배수)

(iii) a|c , b|c ⇒ l|c (최소)

최대공약수의 특징은 그 수의 일차결합으로 표시된다는 점이다.

a, b ∈ Z에 대하여 d=as+bt (s, t ∈ Z)

이를 이용하여 큰 수의 최대공약수를 구하는 방법이 있다. 유클리드 호제법이라고 불리는 이 방법은 계속 나눗셈을 해줌으로서 최대공약수를 찾고 더 나아가서 그 일차결합도 찾을 수 있는 방법이다.

예를 들어, (216, 152)를 계산해보자.

216 = 152 × 1 + 64

152 = 64 × 2 + 24

64 = 24 × 2 + 16

24 =16 × 1 + 8 <------ gcd(216.152)

16 = 8 × 2 +0

8 = 24 + 16 × (-1)

= 24 × 3 + 64 × (-1)

= 152 × 3 + 64 × (-7)

= 152 × 10 + 216 × (-7) <---- 216과 152의 일차결합으로 표시되었다.

물론 다른 방법이 (박승안, 김응태 <정수론>)에 수록되어 있으니 직접 확인 해보길 바란다.

서로소의 정의는 최대공약수가 1인 것들을 서로소라고 한다.

서로소의 정의와 성질에대해서 설명한다.

a, b : 서로소 ⇔ (a, b)=1

⇔ 1=as+bt (s, t ∈ Z)

⇔ (a^n, b)=1

⇔ (a, b^m)=1

⇔ (a^n, b^m)=1

(a, b)=1 일 때,

a|bc ⇔ a|c

a|c, b|c ⇔ ab|c

a>0, b>0, [a, b]=ab

0. 개관

Bitssam — Fri, 17 Jul 2015 12:18:55 +0900

[정수론]을 시작하기 앞서서

정수론은 대수학의 한 분야로서 대수학의 목표인 방정식의 해법이라는 목표를 정수론 또한 가지고 있다.

그 중에서도 정수계수정수방정식 이른바 디오판토스 방정식의 해법을 연구하는 분야이다.

디오판토스 방정식의 해를 직접 구하기는 쉽지 않다. 그러므로 수학자들은 합동방정식이라는 방법을 생각해내었다.

정수론에서 살펴보아야 할 주제는 다음과 같다.

1. 정수의 기본적 대수적 성질과 정수의 약수 배수관계(나누어짐)에 대해서 살펴본다.

2. 소수의 성질을 살펴보고 소인수분해, 표준분해를 살펴본후 페르마소수, 메르센 소수를 살펴본다.

3. 합동식에 대해 살펴보고 동치관계(완전잉여, 표준잉여, 기약잉여)를 살펴보고 풀이법인 중국인의 나머지정리에 대해 살펴본다.

4. 소수를 법으로 할때의 곱셈의 순환성을 다룬 페르마정리와 그의 일반화 오일러정리를 살펴본다.

5. 이산로그를 정의하기 앞서 원시근에 대하여 알아보고 이항합동식에 적용해본다.

6. 이차잉여의 개념을 살펴보고 야코비기호와 르장드르기호에 대해 살펴본다.

7. 연분수의 구조에 대해 살펴본다.

물론 페르마의 마지막정리와 같은 굵직한 주제들이 더 있는 것은 사실이지만 이 정도만 다루고자 한다.