실수의 완비성을 토대로 우선 실수공간에서의 기본적인 개념들을 정리하고자 한다. 

1. 개집합과 폐집합

실수의 가까이 다가감을 정의하기 위해서는 실수 사이의 원근관계를 정의해 두어야 한다. 

어떤 점을 기준으로 일정거리에 있다는 것을 어떻게 표현할 수 있을까?

어떤 점 $c$를 놓고 $c$주변으로 $\varepsilon$만큼의 거리 안에 있는 점들을 정의해보자. 이 점은 개구간 $(c-\varepsilon , c+\varepsilon )$이라 할 수 있다. 

이 구간을 $c$의 $\varepsilon$-근방이라 정의하도록 하자.

엡실론-근방을 정의하였으면 이제 개구간 $(a,b)$에 대하여 탐구하여보자. 

임의의 $c \in (a,b)$에 대하여 $(c-\varepsilon , c+\varepsilon ) \subset (a,b)$가 되도록 $\varepsilon$을 둘 수 있다. 

즉, 개구간의 임의의 원소는 그 개구간 안에 엡실론-근방을 가지고 있다. $\varepsilon = min\{c-a,b-c\}$라 하면 쉽게 설명된다.

집합이 열려있다는 것은 바로 이것을 의미한다. 

어떤 집합의 원소를 택하더라도 그 원소의 엡실론-근방이 집합에 포함되면 그 집합이 열려있다고 말한다. 

반대로 닫혀있다는 것은 여집합이 개집합일 때를 정의한다. 정리하자면 다음과 같다.

실수의 집합 $\mathbb{R}$의 부분집합 $O$의 각 점 $x \in O$에 대하여, 이에 대응하는 적당한 $\varepsilon >0$이 존재하여 $(c-\varepsilon , c+\varepsilon ) \subset O$가 될 때, 집합 $O$를 개집합(open set)이라고 한다. 또, $F \subset \mathbb{R}$에 대하여 $F^C$가 개집합이 될 때, 집합 $F$를 폐집합(closed set)이라고 한다.

2. 내점과 집적점

어떤 점 근방에 무한히 많은 점이 있다는 것은 

아무리 그 근방의 크기를 작게하여 그 점만을 취하려고 해도 다른 점이 걸려든다는 것으로도 생각할 수 있다.

즉, $a$라는 점에 대하여 임의의 엡실론-근방 $(a-\varepsilon , a+\varepsilon)$을 잡았을 때 어떤 집합$S$의 원소를 포함할 때 점 $a$를 $S$의 집적점이라 한다.

$S$의 집적점의 집합 $S'$와 $S$와의 합집합 $S \cup S'$를 $S$의 폐포라 하며 $\bar{S}$라 쓴다.

어떤 점이 집합의 안쪽에 있다는 것은 집합의 경계와 거리가 어느정도 있어서 

적당한 엡실론-근방을 잡아서 안쪽으로 들어간다는 것으로 표현될 수 있다.

즉, $a \in S$에 대하여 $(a-\varepsilon , a+\varepsilon) \subset S$을 만족하는 $\varepsilon >0$이 존재하면 $a$를 $S$의 내점이라 한다. 이를 정리하면 다음과 같다.

$a$가 $S$의 집적점

$\Longleftrightarrow$ $\forall \varepsilon >0 , (a-\varepsilon , a+\varepsilon) \cap S \ne \emptyset$

$a$가 $S$의 내점

$\Longleftrightarrow$ $\exists \varepsilon >0$ s.t. $(a-\varepsilon , a+\varepsilon) \subset S$

이에 따른 개집합과 폐집합의 필요충분조건 또한 알 수 있다.

집합 $O$가 개집합

$\Longleftrightarrow$ $\forall x \in O$, $x$는 내점

집합 $F$가 폐집합

$\Longleftrightarrow$ $F' \subset F$